Bir üçgenin taban uzunluğu $10 \text{ cm}$ ve bu tabana ait yüksekliği $8 \text{ cm}$'dir. Eğer taban uzunluğu sabit kalıp yükseklik $2 \text{ katına}$ çıkarılırsa, üçgenin alanı nasıl değişir?
A) Alan $2 \text{ katına}$ çıkar.
B) Alan $4 \text{ katına}$ çıkar.
C) Alan değişmez.
D) Alan yarıya iner.
E) Alan $4 \text{ katına}$ iner.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir üçgenin alanının, yüksekliği değiştiğinde nasıl etkilendiğini adım adım inceleyeceğiz. Üçgenin alanı formülünü hatırlayarak işe başlayalım.
- 1. Üçgenin Alanı Formülü:
- Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ($b$) ile o tabana ait yüksekliğin ($h$) çarpımının yarısıdır. Yani, $A = rac{1}{2} \times b \times h$.
- 2. İlk Durumdaki Alanı Hesaplayalım:
- Soruda verilen ilk taban uzunluğu $b_1 = 10 \text{ cm}$ ve ilk yükseklik $h_1 = 8 \text{ cm}$'dir.
- Bu değerleri formülde yerine koyarak ilk alanı ($A_1$) bulalım:
- $A_1 = rac{1}{2} \times 10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}$
- $A_1 = rac{1}{2} \times 80 \text{ cm}^2$
- $A_1 = 40 \text{ cm}^2$
- Demek ki, üçgenimizin başlangıçtaki alanı $40 \text{ cm}^2$'dir.
- 3. Yüksekliğin Değişimini ve Yeni Yüksekliği Belirleyelim:
- Soruda taban uzunluğunun sabit kaldığı belirtiliyor. Yani yeni taban uzunluğu $b_2 = 10 \text{ cm}$ olarak kalacak.
- Yüksekliğin ise $2 \text{ katına}$ çıkarıldığı söyleniyor. İlk yüksekliğimiz $h_1 = 8 \text{ cm}$ idi.
- Yeni yükseklik ($h_2$) = $2 \times h_1 = 2 \times 8 \text{ cm} = 16 \text{ cm}$ olur.
- 4. Yeni Durumdaki Alanı Hesaplayalım:
- Şimdi, sabit kalan taban uzunluğu ($b_2 = 10 \text{ cm}$) ve yeni yüksekliği ($h_2 = 16 \text{ cm}$) kullanarak üçgenin yeni alanını ($A_2$) hesaplayalım:
- $A_2 = rac{1}{2} \times b_2 \times h_2$
- $A_2 = rac{1}{2} \times 10 \text{ cm} \times 16 \text{ cm}$
- $A_2 = rac{1}{2} \times 160 \text{ cm}^2$
- $A_2 = 80 \text{ cm}^2$
- Gördüğümüz gibi, yüksekliği değiştirdikten sonra üçgenin alanı $80 \text{ cm}^2$ oldu.
- 5. Alanın Nasıl Değiştiğini Karşılaştıralım:
- İlk alanımız $A_1 = 40 \text{ cm}^2$ idi.
- Yeni alanımız $A_2 = 80 \text{ cm}^2$ oldu.
- $A_2$ ile $A_1$'i karşılaştırırsak: $80 \text{ cm}^2 / 40 \text{ cm}^2 = 2$.
- Bu, yeni alanın ilk alanın $2 \text{ katı}$ olduğu anlamına gelir.
- Yani, taban sabit kalıp yükseklik $2 \text{ katına}$ çıktığında, üçgenin alanı da $2 \text{ katına}$ çıkar. Bu durum, alan formülündeki yüksekliğin doğrudan orantılı olmasından kaynaklanır.
Bu durumda, doğru seçenek A şıkkıdır.
Cevap A seçeneğidir.
