Çakışık doğrular birden fazla noktada kesişir mi? Test 1

$ax + by + c = 0$ ve $2ax + 2by + 2c = 0$ denklemleri ile verilen doğrular için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? (a, b, c ≠ 0)

A) Paraleldirler
B) Dik kesişirler
C) Çakışıktırlar
D) Bir noktada kesişirler

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, doğrusal denklemlerle verilen doğruların birbirleriyle olan ilişkisini inceleyeceğiz. İki doğrunun denklemi verildiğinde, bu doğruların paralel mi, dik mi, çakışık mı yoksa bir noktada mı kesiştiğini nasıl anlayacağımızı adım adım görelim.

• 1. Doğrusal Denklemleri Tanıyalım:

  Bir doğru denklemi genellikle $Ax + By + C = 0$ şeklinde ifade edilir. Bu denklemdeki $A$, $B$ ve $C$ katsayıları, doğrunun konumunu ve eğimini belirler. Bize verilen denklemler şunlardır:

  • Birinci denklem: $ax + by + c = 0$
  • İkinci denklem: $2ax + 2by + 2c = 0$

  Burada $a, b, c$ sıfırdan farklı sayılardır.

• 2. Denklemleri Karşılaştıralım:

  Şimdi bu iki denklemi dikkatlice inceleyelim. İkinci denklemin, birinci denklemin tüm terimlerinin 2 katı olduğunu fark ettiniz mi?

  • Birinci denklemdeki $x$'in katsayısı $a$, ikinci denklemde $2a$.
  • Birinci denklemdeki $y$'nin katsayısı $b$, ikinci denklemde $2b$.
  • Birinci denklemdeki sabit terim $c$, ikinci denklemde $2c$.
• 3. Oranları İnceleyelim:

  İki doğrusal denklemin ($A_1x + B_1y + C_1 = 0$ ve $A_2x + B_2y + C_2 = 0$) birbirine göre durumunu anlamak için katsayılar arasındaki oranlara bakarız:

  • Eğer $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ ise, doğrular çakışıktır (yani aynı doğrudur).
  • Eğer $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ ise, doğrular paraleldir ve kesişmezler.
  • Eğer $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$ ise, doğrular bir noktada kesişirler.
  • Doğruların dik kesişmesi için eğimlerinin çarpımı $-1$ olmalıdır. Bu da $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ anlamına gelir.
• 4. Katsayı Oranlarını Hesaplayalım:

  Denklemlerimiz için bu oranları hesaplayalım:

  • $x$ katsayılarının oranı: $\frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$
  • $y$ katsayılarının oranı: $\frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$
  • Sabit terimlerin oranı: $\frac{c}{2c} = \frac{1}{2}$
• 5. Sonucu Değerlendirelim:

  Gördüğümüz gibi, tüm katsayıların oranları birbirine eşittir: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

  Bu durum, yukarıdaki kurallara göre doğruların çakışık olduğu anlamına gelir. Yani, bu iki denklem aslında aynı doğruyu temsil etmektedir. Bir denklemi bir sabitle çarpmak (sıfır olmayan bir sabitle) denklemin çözüm kümesini değiştirmez, dolayısıyla temsil ettiği doğruyu da değiştirmez.

Bu nedenle, verilen iki denklemle temsil edilen doğrular çakışıktır.

Cevap C seçeneğidir.