10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 1

Bir üçgenin taban uzunluğu $a$ ve bu tabana ait yüksekliği $h$'dir. Eğer taban uzunluğu %$20$ artırılır ve yükseklik %$10$ azaltılırsa, üçgenin alanındaki değişim yüzdesi ne olur?

A) %$8$ artar
B) %$8$ azalır
C) %$10$ artar
D) %$10$ azalır
E) Değişmez

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgenin taban uzunluğu ve yüksekliğindeki yüzdesel değişimlerin, üçgenin alanında nasıl bir yüzdesel değişime yol açtığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Başlangıçtaki Üçgenin Alanını Belirleyelim:

  Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımının yarısıdır. Başlangıçtaki taban uzunluğuna $a$ ve yüksekliğe $h$ dersek, başlangıçtaki alan $A_1$ şu şekilde ifade edilir:

  $A_1 = \frac{1}{2} \times a \times h$

• 2. Yeni Taban Uzunluğunu Hesaplayalım:

  Soruda taban uzunluğunun %$20$ artırıldığı belirtiliyor. Bu, orijinal taban uzunluğunun $100\% + 20\% = 120\%$ katı olacağı anlamına gelir. Yeni taban uzunluğuna $a'$ diyelim:

  $a' = a + (a \times \frac{20}{100})$

  $a' = a + 0.20a$

  $a' = 1.20a$

• 3. Yeni Yüksekliği Hesaplayalım:

  Yüksekliğin %$10$ azaltıldığı belirtiliyor. Bu, orijinal yüksekliğin $100\% - 10\% = 90\%$ katı olacağı anlamına gelir. Yeni yüksekliğe $h'$ diyelim:

  $h' = h - (h \times \frac{10}{100})$

  $h' = h - 0.10h$

  $h' = 0.90h$

• 4. Yeni Üçgenin Alanını Hesaplayalım:

  Şimdi yeni taban uzunluğu $a'$ ve yeni yükseklik $h'$ kullanarak üçgenin yeni alanı $A_2$'yi bulalım:

  $A_2 = \frac{1}{2} \times a' \times h'$

  $A_2 = \frac{1}{2} \times (1.20a) \times (0.90h)$

  Sayıları kendi aralarında, değişkenleri kendi aralarında çarpalım:

  $A_2 = \frac{1}{2} \times (1.20 \times 0.90) \times (a \times h)$

  $A_2 = \frac{1}{2} \times (1.08) \times a \times h$

  Bu ifadeyi başlangıçtaki alan $A_1$ cinsinden yazarsak:

  $A_2 = 1.08 \times (\frac{1}{2} \times a \times h)$

  $A_2 = 1.08 \times A_1$

• 5. Alan Değişim Yüzdesini Bulalım:

  Yeni alan $A_2$, başlangıçtaki alan $A_1$'in $1.08$ katı oldu. Bu, alanın $0.08$ katı kadar arttığı anlamına gelir.

  Değişim miktarı $= A_2 - A_1 = 1.08A_1 - A_1 = 0.08A_1$

  Yüzde değişimi bulmak için bu değişimi başlangıçtaki alana oranlayıp %$100$ ile çarparız:

  Yüzde Değişim $= \frac{\text{Değişim Miktarı}}{\text{Başlangıç Alanı}} \times 100\%$

  Yüzde Değişim $= \frac{0.08A_1}{A_1} \times 100\%$

  Yüzde Değişim $= 0.08 \times 100\%$

  Yüzde Değişim $= 8\%$

• 6. Değişimin Yönünü Belirleyelim:

  Yeni alan $A_2 = 1.08A_1$ olduğu için, yeni alan başlangıçtaki alandan daha büyüktür. Bu da alanın arttığı anlamına gelir.

  Sonuç olarak, üçgenin alanı %$8$ artmıştır.

Cevap A seçeneğidir.