10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 1

Pozitif bölen sayısı $12$ olan en küçük doğal sayı kaçtır?

A) $60$
B) $72$
C) $90$
D) $120$
E) $180$

Pozitif bölen sayısı $12$ olan en küçük doğal sayıyı bulmak için, bir sayının pozitif bölen sayısını veren formülü kullanmamız gerekir.

• 1. Adım: Pozitif Bölen Sayısı Formülünü Hatırlayalım

  Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$ şeklinde ise (burada $p_1, p_2, \ldots, p_k$ farklı asal sayılar ve $a_1, a_2, \ldots, a_k$ pozitif tam sayılardır), bu sayının pozitif bölen sayısı $\tau(N)$ şu formülle bulunur:

  $\tau(N) = (a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)$

  Soruda bize pozitif bölen sayısının $12$ olduğu verilmiş. Yani $(a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1) = 12$ olmalıdır.

• 2. Adım: $12$ sayısının çarpanlarını inceleyelim

  Üslerin bir fazlasının çarpımı $12$ olacağına göre, $12$ sayısının farklı çarpan kombinasyonlarını bulmalıyız. Bu kombinasyonlar, sayının kaç farklı asal çarpana sahip olabileceğini ve bu asal çarpanların üslerini belirleyecektir. Bir sayıyı en küçük yapmak için, en küçük asal sayıları ($2, 3, 5, \ldots$) kullanmalı ve büyük üsleri küçük asal sayılara vermeliyiz.

  • Durum 1: Tek bir asal çarpan varsa

    $(a_1+1) = 12 \implies a_1 = 11$.

    Bu durumda sayı $N = p_1^{11}$ şeklinde olur. En küçük $N$ için $p_1 = 2$ seçilir.

    $N = 2^{11} = 2048$.

  • Durum 2: İki farklı asal çarpan varsa

    İki farklı asal çarpan için $12$'nin iki çarpanlı hallerini düşüneceğiz:

    • a) $12 = 6 \times 2$

      $(a_1+1) = 6 \implies a_1 = 5$

      $(a_2+1) = 2 \implies a_2 = 1$

      Sayı $N = p_1^5 \cdot p_2^1$ şeklinde olur. En küçük $N$ için, büyük üssü küçük asala vererek $p_1=2$ ve $p_2=3$ seçeriz.

      $N = 2^5 \cdot 3^1 = 32 \cdot 3 = 96$.

    • b) $12 = 4 \times 3$

      $(a_1+1) = 4 \implies a_1 = 3$

      $(a_2+1) = 3 \implies a_2 = 2$

      Sayı $N = p_1^3 \cdot p_2^2$ şeklinde olur. En küçük $N$ için, büyük üssü küçük asala vererek $p_1=2$ ve $p_2=3$ seçeriz.

      $N = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

  • Durum 3: Üç farklı asal çarpan varsa

    Üç farklı asal çarpan için $12$'nin üç çarpanlı halini düşüneceğiz:

    • a) $12 = 3 \times 2 \times 2$

      $(a_1+1) = 3 \implies a_1 = 2$

      $(a_2+1) = 2 \implies a_2 = 1$

      $(a_3+1) = 2 \implies a_3 = 1$

      Sayı $N = p_1^2 \cdot p_2^1 \cdot p_3^1$ şeklinde olur. En küçük $N$ için, en küçük asal sayıları sırasıyla $p_1=2, p_2=3, p_3=5$ olarak seçeriz ve en büyük üssü en küçük asala veririz.

      $N = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

• 3. Adım: Bulduğumuz sayıları karşılaştıralım

  Yukarıdaki durumlar sonucunda elde ettiğimiz en küçük sayılar şunlardır:

  • $2048$ (tek asal çarpanlı)
  • $96$ (iki asal çarpanlı, $2^5 \cdot 3^1$)
  • $72$ (iki asal çarpanlı, $2^3 \cdot 3^2$)
  • $60$ (üç asal çarpanlı, $2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$)

  Bu sayılar arasında en küçüğü $60$'tır.

Cevap A seçeneğidir.