Aşağıdaki bağıntılardan hangisi gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon belirtir?
I. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x-2}$
II. $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = \sqrt{x+1}$
III. $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $h(x) = x^2 + 3$
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) II ve III
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen bağıntılardan hangilerinin gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon belirttiğini bulmamız isteniyor. Bir bağıntının $f: A \to B$ şeklinde bir fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir:
- Tanımlılık: Tanım kümesindeki ($A$) her eleman için bir görüntü olmalıdır. Yani, $A$'daki her $x$ değeri için $f(x)$ hesaplanabilmeli ve bir gerçek sayı olmalıdır.
- Tek Değerlilik: Tanım kümesindeki her elemanın yalnızca bir görüntüsü olmalıdır. (Verilen cebirsel ifadeler genellikle bu şartı otomatik olarak sağlar.)
Şimdi her bir bağıntıyı bu şartlar açısından inceleyelim:
- I. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x-2}$
- Bu bağıntının tanım kümesi $\mathbb{R}$ (tüm gerçek sayılar) olarak verilmiştir.
- Bir kesirli ifadede payda sıfır olamaz. Yani $x-2 \neq 0$ olmalıdır.
- Bu durumda $x \neq 2$ olmalıdır.
- Ancak tanım kümemiz $\mathbb{R}$ olduğu için $x=2$ değeri de bu kümenin içindedir.
- $x=2$ için $f(2) = \frac{1}{2-2} = \frac{1}{0}$ olur ki bu ifade tanımsızdır.
- Tanım kümesindeki bir eleman ($2$) için görüntü bulunamadığı için bu bağıntı, verilen tanım kümesinde bir fonksiyon belirtmez.
- II. $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = \sqrt{x+1}$
- Bu bağıntının tanım kümesi yine $\mathbb{R}$ (tüm gerçek sayılar) olarak verilmiştir.
- Gerçek sayılarda karekökün içi negatif olamaz. Yani $x+1 \ge 0$ olmalıdır.
- Bu durumda $x \ge -1$ olmalıdır.
- Ancak tanım kümemiz $\mathbb{R}$ olduğu için $x < -1$ olan değerler de bu kümenin içindedir. Örneğin, $x=-2$ değeri $\mathbb{R}$'nin bir elemanıdır.
- $x=-2$ için $g(-2) = \sqrt{-2+1} = \sqrt{-1}$ olur ki bu ifade bir gerçek sayı değildir (karmaşık sayıdır).
- Tanım kümesindeki bir eleman (örneğin $-2$) için gerçek bir görüntü bulunamadığı için bu bağıntı, verilen tanım kümesinde bir fonksiyon belirtmez.
- III. $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $h(x) = x^2 + 3$
- Bu bağıntının tanım kümesi yine $\mathbb{R}$ (tüm gerçek sayılar) olarak verilmiştir.
- $x$ yerine herhangi bir gerçek sayı yazdığımızda, $x^2$ her zaman bir gerçek sayı (ve pozitif veya sıfır) olacaktır.
- $x^2$ ifadesine $3$ eklediğimizde de sonuç yine bir gerçek sayı olacaktır.
- Yani, $\mathbb{R}$'deki her $x$ değeri için $h(x) = x^2+3$ ifadesi her zaman hesaplanabilir ve sonucu tek bir gerçek sayı olur.
- Örneğin, $x=0$ için $h(0) = 0^2+3 = 3$. $x=1$ için $h(1) = 1^2+3 = 4$. $x=-2$ için $h(-2) = (-2)^2+3 = 4+3 = 7$. Tüm bu sonuçlar gerçek sayılardır ve değer kümesi $\mathbb{R}$'nin içindedir.
- Bu bağıntı, verilen tanım kümesindeki her eleman için tek ve gerçek bir görüntüye sahip olduğu için bir fonksiyon belirtir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece III. bağıntının gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon belirttiğini görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
