Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, temel bir trigonometrik özdeşliği kullanarak verilen bir tanjant değerinden $cos^2(x)$ değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Tanjantın Tanımını Hatırlayalım
- Tanjant fonksiyonu, bir açının sinüsünün kosinüsüne oranı olarak tanımlanır. Yani, $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$'tir.
- Adım 2: Verilen Bilgiyi Kullanalım
- Soruda bize $tan(x) = 3$ olarak verilmiş. Bu durumda, tanımı kullanarak şu denklemi yazabiliriz:
- $\frac{sin(x)}{cos(x)} = 3$
- Bu denklemden $sin(x)$'i $cos(x)$ cinsinden ifade edebiliriz. Her iki tarafı $cos(x)$ ile çarparsak:
- $sin(x) = 3 \cdot cos(x)$
- Adım 3: Temel Trigonometrik Özdeşliği Kullanalım
- Bize verilen temel trigonometrik özdeşlik $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$'dir. Bu özdeşlik, birim çemberden türetilen ve her zaman geçerli olan çok önemli bir ilişkidir.
- Şimdi, Adım 2'de bulduğumuz $sin(x) = 3 \cdot cos(x)$ ifadesini bu özdeşlikte yerine koyalım:
- $(3 \cdot cos(x))^2 + cos^2(x) = 1$
- Adım 4: Denklemi Çözelim
- $(3 \cdot cos(x))^2$ ifadesini açarsak, $3^2 \cdot cos^2(x)$ yani $9 \cdot cos^2(x)$ elde ederiz. Denklemi yeniden yazalım:
- $9 \cdot cos^2(x) + cos^2(x) = 1$
- Şimdi $cos^2(x)$ terimlerini birleştirelim:
- $(9+1) \cdot cos^2(x) = 1$
- $10 \cdot cos^2(x) = 1$
- Son olarak, $cos^2(x)$'i yalnız bırakmak için her iki tarafı 10'a bölelim:
- $cos^2(x) = \frac{1}{10}$
Böylece $cos^2(x)$ değerini $1/10$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
