10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 6. senaryo Test 1

$18$ ve $24$ sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 6
D) 12
E) 72

İki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmak için en yaygın ve anlaşılır yöntemlerden biri, sayıları asal çarpanlarına ayırma yöntemidir. EBOB, iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayıdır. Bu soruda $18$ ve $24$ sayılarının EBOB'unu bulacağız. Hadi adımları takip edelim:

• Adım 1: İlk sayıyı ($18$) asal çarpanlarına ayıralım.

  $18$ sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim:

  $18 \div 2 = 9$

  $9 \div 3 = 3$

  $3 \div 3 = 1$

  Buna göre, $18$ sayısının asal çarpanları $2 \times 3 \times 3$ yani $2^1 \times 3^2$ şeklindedir.

• Adım 2: İkinci sayıyı ($24$) asal çarpanlarına ayıralım.

  $24$ sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim:

  $24 \div 2 = 12$

  $12 \div 2 = 6$

  $6 \div 2 = 3$

  $3 \div 3 = 1$

  Buna göre, $24$ sayısının asal çarpanları $2 \times 2 \times 2 \times 3$ yani $2^3 \times 3^1$ şeklindedir.

• Adım 3: Ortak asal çarpanları ve en küçük üslerini belirleyelim.

  Şimdi her iki sayının asal çarpanlarını yan yana yazalım:

  $18 = 2^1 \times 3^2$

  $24 = 2^3 \times 3^1$

  EBOB'u bulmak için, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanları seçeriz ve bu çarpanların üslerinden en küçüğünü alırız.

  Ortak asal çarpanlar $2$ ve $3$'tür.

  $2$ asal çarpanı için: $18$'in çarpanlarında $2^1$, $24$'ün çarpanlarında $2^3$ var. Bu üslerden en küçüğü $1$ olduğu için $2^1$ ifadesini alırız.

  $3$ asal çarpanı için: $18$'in çarpanlarında $3^2$, $24$'ün çarpanlarında $3^1$ var. Bu üslerden en küçüğü $1$ olduğu için $3^1$ ifadesini alırız.

• Adım 4: Belirlediğimiz ortak asal çarpanları çarparak EBOB'u hesaplayalım.

  EBOB($18$, $24$) $= 2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6$.

  Yani, $18$ ve $24$ sayılarını bölen en büyük sayı $6$'dır.

Bu durumda, doğru cevabımız $6$'dır.

Cevap C seçeneğidir.