Kenar uzunlukları $48$ metre ve $60$ metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına ve köşelerine de gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç gereklidir?
A) 18Bu problemde, dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla ve köşelere de gelecek şekilde ağaç dikeceğiz. En az sayıda ağaç dikmek için, ağaçlar arasındaki mesafenin mümkün olan en büyük değeri alması gerekir. Bu da bize En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kavramını kullanmamız gerektiğini gösterir.
Ağaçlar arasındaki mesafe, hem $48$ metre hem de $60$ metre kenar uzunluklarını tam bölen bir sayı olmalıdır. En az ağaç dikmek istediğimiz için, bu mesafeyi en büyük ortak bölen olarak seçmeliyiz. $48$ ve $60$ sayılarının EBOB'unu bulalım:
Öncelikle sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$
$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
EBOB'u bulmak için, ortak asal çarpanların en küçük üslerini alırız:
$EBOB(48, 60) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$ metre.
Bu durumda, ağaçlar arasındaki maksimum mesafe $12$ metre olmalıdır.
Dikdörtgen şeklindeki bahçenin kenar uzunlukları $48$ metre ve $60$ metre olduğuna göre, çevresini hesaplayalım. Dikdörtgenin çevre formülü $2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar})$ şeklindedir.
Çevre $= 2 \times (48 \text{ metre} + 60 \text{ metre})$
Çevre $= 2 \times (108 \text{ metre})$
Çevre $= 216 \text{ metre}$
Bahçenin çevresi $216$ metredir ve her $12$ metrede bir ağaç dikeceğiz. Köşelere de ağaç dikildiği için, çevreyi ağaçlar arası mesafeye bölerek doğrudan ağaç sayısını bulabiliriz.
Ağaç Sayısı $= \frac{\text{Çevre}}{\text{Ağaçlar Arası Mesafe}}$
Ağaç Sayısı $= \frac{216 \text{ metre}}{12 \text{ metre}}$
Ağaç Sayısı $= 18$ ağaç
Bu durumda, en az $18$ ağaç gereklidir.
Cevap A seçeneğidir.
