Sıralı cisim nedir Test 1

Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \) bir sıralı cisimdir. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi \( \mathbb{Q} \)'nun sıralı cisim özelliklerinden biri değildir?

A) Her \( x, y, z \in \mathbb{Q} \) için \( x < y \Rightarrow x + z < y + z \)
B) Her \( x, y, z \in \mathbb{Q} \) için \( x < y \) ve \( z > 0 \Rightarrow xz < yz \)
C) Her \( x \in \mathbb{Q} \) için \( x^2 \geq 0 \)
D) Her \( x \in \mathbb{Q} \) için \( x^3 \geq 0 \)

Rasyonel sayılar kümesi $ \mathbb{Q} $ bir sıralı cisimdir. Bir kümenin sıralı cisim olması demek, hem bir cisim (toplama ve çarpma işlemleri belirli aksiyomları sağlar) olması hem de üzerinde bir sıralama ilişkisi ($ < $ veya $ \leq $) tanımlanmış olması ve bu sıralamanın cisim işlemleriyle uyumlu olması demektir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) Her $ x, y, z \in \mathbb{Q} $ için $ x < y \Rightarrow x + z < y + z $

  Bu ifade, sıralı cisimlerin temel özelliklerinden biridir. Sıralama ilişkisinin toplama işlemiyle uyumlu olduğunu gösterir. Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklediğimizde eşitsizlik yön değiştirmez. Bu, $ \mathbb{Q} $'nun sıralı cisim olmasının bir özelliğidir.

• B) Her $ x, y, z \in \mathbb{Q} $ için $ x < y $ ve $ z > 0 \Rightarrow xz < yz $

  Bu ifade de sıralı cisimlerin temel özelliklerinden biridir. Sıralama ilişkisinin çarpma işlemiyle uyumlu olduğunu gösterir, ancak çarpılan sayının pozitif olması koşuluyla. Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirmez. Bu da $ \mathbb{Q} $'nun sıralı cisim olmasının bir özelliğidir.

• C) Her $ x \in \mathbb{Q} $ için $ x^2 \geq 0 $

  Bu ifade, sıralı cisim aksiyomlarından türetilebilen önemli bir özelliktir. İnceleyelim:

  • Eğer $ x = 0 $ ise, $ x^2 = 0^2 = 0 $, yani $ 0 \geq 0 $ doğrudur.
  • Eğer $ x > 0 $ ise, B seçeneğindeki özelliği kullanarak $ x > 0 \Rightarrow x \cdot x > 0 \cdot x \Rightarrow x^2 > 0 $ elde ederiz. Yani $ x^2 \geq 0 $ doğrudur.
  • Eğer $ x < 0 $ ise, o zaman $ -x > 0 $ olur. Yine B seçeneğindeki özelliği kullanarak $ -x > 0 \Rightarrow (-x) \cdot (-x) > 0 \cdot (-x) \Rightarrow x^2 > 0 $ elde ederiz. Yani $ x^2 \geq 0 $ doğrudur.

  Görüldüğü gibi, her durumda bir rasyonel sayının karesi sıfırdan büyük veya eşittir. Bu, $ \mathbb{Q} $'nun sıralı cisim olmasının bir sonucudur.

• D) Her $ x \in \mathbb{Q} $ için $ x^3 \geq 0 $

  Bu ifade, sıralı cisimlerin bir özelliği değildir. Bu ifadenin doğru olmadığını göstermek için bir karşı örnek bulabiliriz. Örneğin, $ x = -1 $ rasyonel bir sayıdır ($ -1 \in \mathbb{Q} $). Bu durumda $ x^3 = (-1)^3 = -1 $ olur. Ancak $ -1 \geq 0 $ ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla, bu ifade her $ x \in \mathbb{Q} $ için geçerli değildir ve bu nedenle $ \mathbb{Q} $'nun sıralı cisim özelliklerinden biri değildir.

Cevap D seçeneğidir.