Rasyonel sayılar kümesinde tanımlı sıralama ilişkisi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Her rasyonel sayının karekökü vardırMerhaba sevgili öğrenciler, bu soruda rasyonel sayılar kümesinde tanımlı sıralama ilişkisi ile ilgili verilen ifadeleri tek tek inceleyerek doğru olanı bulacağız. Rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ olarak gösterilir ve $p/q$ şeklinde yazılabilen sayılardan oluşur, burada $p$ bir tam sayı ve $q$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır.
Bu ifade yanlıştır. Öncelikle, negatif rasyonel sayıların gerçel sayılar kümesinde karekökü yoktur (örneğin, $\sqrt{-4}$ bir gerçel sayı değildir). Ayrıca, pozitif rasyonel sayıların bile karekökleri her zaman rasyonel olmayabilir. Örneğin, $2$ bir rasyonel sayıdır, ancak $\sqrt{2}$ bir rasyonel sayı değildir (irrasyonel bir sayıdır). Yani, $\sqrt{2}$ sayısı rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ içinde bulunmaz. Bu nedenle, her rasyonel sayının karekökü rasyonel sayılar kümesi içinde değildir.
Bu ifade doğrudur. Archimedes özelliği, rasyonel sayılar kümesi için geçerlidir. Bu özellik kısaca şunu ifade eder: Herhangi iki pozitif rasyonel sayı $x$ ve $y$ verildiğinde, $y$'yi aşacak kadar $x$'i kendisiyle toplayarak (yani $nx > y$ olacak şekilde bir doğal sayı $n$ bularak) $y$'yi geçmek mümkündür. Başka bir deyişle, rasyonel sayılar kümesinde "sonsuz küçük" veya "sonsuz büyük" sayılar yoktur; her sayıyı yeterince katlayarak diğerini geçebiliriz. Örneğin, $x = 0.001$ ve $y = 1000$ ise, $n = 1.000.001$ gibi bir doğal sayı seçerek $nx > y$ eşitsizliğini sağlayabiliriz.
Bu ifade yanlıştır. Süreklilik aksiyomu (veya tamlık aksiyomu), bir kümenin "boşluksuz" olduğunu ifade eder. Gerçel sayılar kümesi $\mathbb{R}$ bu aksiyomu sağlar: Üstten sınırlı her boş olmayan gerçel sayı kümesinin $\mathbb{R}$ içinde bir en küçük üst sınırı (supremumu) vardır. Ancak rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ bu aksiyomu sağlamaz. Örneğin, $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$ kümesi rasyonel sayılar içinde üstten sınırlıdır (örneğin $2$ ile sınırlıdır), ancak bu kümenin rasyonel sayılar içinde bir en küçük üst sınırı yoktur. Bu en küçük üst sınır $\sqrt{2}$'dir ve $\sqrt{2}$ bir rasyonel sayı değildir. Bu durum, rasyonel sayı doğrusunda "boşluklar" olduğunu gösterir.
Bu ifade yanlıştır. Rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ üstten sınırsız bir kümedir. Yani, herhangi bir rasyonel sayı $q$ verildiğinde, ondan daha büyük bir rasyonel sayı her zaman bulunabilir (örneğin, $q+1$ veya $q+1/2$). Bu nedenle, rasyonel sayılar kümesinin bir maksimum elemanı yoktur. Bir kümenin maksimum elemanı olabilmesi için o kümenin üstten sınırlı olması ve en büyük elemanı içermesi gerekir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, rasyonel sayılar kümesinde Archimedes özelliğinin sağlandığını görmekteyiz.
Cevap B seçeneğidir.
