Koordinat düzleminde köşeleri A(0,0), B(6,0) ve C(3,3√3) noktaları olan eşkenar üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3,√3)
B) (2,2√3)
C) (4,√3)
D) (3,2√3)
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, koordinat düzleminde verilen bir eşkenar üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulacağız. Ağırlık merkezi, bir üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır ve koordinatları, köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur. Haydi adım adım çözelim!
-
Ağırlık Merkezi (Centroid) Formülü: Bir üçgenin köşeleri $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ve $C(x_3, y_3)$ ise, ağırlık merkezinin $G(x_G, y_G)$ koordinatları aşağıdaki formülle bulunur:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
-
Verilen Köşe Koordinatlarını Belirleyelim:
- $A(x_1, y_1) = (0,0)$
- $B(x_2, y_2) = (6,0)$
- $C(x_3, y_3) = (3,3\sqrt{3})$
-
Ağırlık Merkezinin x-koordinatını Hesaplayalım: Köşelerin x-koordinatlarını toplayıp 3'e böleceğiz.
$x_G = \frac{0 + 6 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3$
-
Ağırlık Merkezinin y-koordinatını Hesaplayalım: Köşelerin y-koordinatlarını toplayıp 3'e böleceğiz.
$y_G = \frac{0 + 0 + 3\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$
-
Ağırlık Merkezinin Koordinatlarını Bulalım: Yaptığımız hesaplamalar sonucunda ağırlık merkezinin koordinatları $G(3, \sqrt{3})$ olarak bulunur.
-
Seçeneklerle Karşılaştıralım: Bulduğumuz $(3, \sqrt{3})$ koordinatları A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
