İki farklı parabolik antenin kesitleri, koordinat düzleminde $f(x) = -0.5x^2 + 10$ ve $g(x) = -0.8x^2 + 10$ fonksiyonları ile modellenmiştir. Bu antenlerin zemin seviyesindeki genişlikleri (x-eksenini kestikleri noktalar arasındaki mesafe) karşılaştırıldığında, hangi antenin daha geniş olduğu söylenebilir?
A) $f(x)$ anteni daha geniştir.
B) $g(x)$ anteni daha geniştir.
C) Her iki antenin genişliği aynıdır.
D) Antenlerin genişliği tepe noktalarının yüksekliğine bağlı değildir.
E) Verilen bilgilerle genişlikler karşılaştırılamaz.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki farklı parabolik antenin kesitleri verilmiş ve bizden bu antenlerin zemin seviyesindeki genişliklerini karşılaştırmamız isteniyor. "Zemin seviyesindeki genişlik" ifadesi, parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki mesafeyi bulmamız gerektiği anlamına gelir. Yani, her bir fonksiyon için $y=0$ (veya $f(x)=0$, $g(x)=0$) denklemini çözerek x-kesim noktalarını bulacağız ve bu noktalar arasındaki uzaklığı hesaplayacağız.
-
1. Adım: $f(x)$ anteninin genişliğini bulalım.
$f(x) = -0.5x^2 + 10$ fonksiyonu için zemin seviyesini (x-eksenini) kestiği noktaları bulmak için $f(x)=0$ denklemini çözeriz:
- $-0.5x^2 + 10 = 0$
- $10 = 0.5x^2$
- $10 = \frac{1}{2}x^2$
- Her iki tarafı $2$ ile çarparsak: $20 = x^2$
- $x$ değerleri: $x = \pm\sqrt{20}$
- $\sqrt{20}$ ifadesini sadeleştirelim: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
- Yani, $x_1 = -2\sqrt{5}$ ve $x_2 = 2\sqrt{5}$
- Bu antenin genişliği, bu iki nokta arasındaki mesafedir: $W_f = |2\sqrt{5} - (-2\sqrt{5})| = |2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}| = 4\sqrt{5}$ birim.
-
2. Adım: $g(x)$ anteninin genişliğini bulalım.
$g(x) = -0.8x^2 + 10$ fonksiyonu için zemin seviyesini (x-eksenini) kestiği noktaları bulmak için $g(x)=0$ denklemini çözeriz:
- $-0.8x^2 + 10 = 0$
- $10 = 0.8x^2$
- $10 = \frac{8}{10}x^2$
- $10 = \frac{4}{5}x^2$
- Her iki tarafı $5$ ile çarpıp $4$e bölersek: $x^2 = \frac{10 \cdot 5}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$
- $x$ değerleri: $x = \pm\sqrt{\frac{25}{2}}$
- $\sqrt{\frac{25}{2}}$ ifadesini sadeleştirelim: $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$. Paydayı rasyonel yapmak için $\sqrt{2}$ ile çarparız: $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
- Yani, $x_1 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$ ve $x_2 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
- Bu antenin genişliği, bu iki nokta arasındaki mesafedir: $W_g = |\frac{5\sqrt{2}}{2} - (-\frac{5\sqrt{2}}{2})| = |\frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2}| = |\frac{10\sqrt{2}}{2}| = 5\sqrt{2}$ birim.
-
3. Adım: Genişlikleri karşılaştıralım.
Şimdi $W_f = 4\sqrt{5}$ ve $W_g = 5\sqrt{2}$ değerlerini karşılaştırmamız gerekiyor. Kök içindeki sayıları karşılaştırmak için her iki sayının da karesini alabiliriz:
- $(W_f)^2 = (4\sqrt{5})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$
- $(W_g)^2 = (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$
- $80 > 50$ olduğu için, $W_f > W_g$ sonucuna ulaşırız.
Bu durumda, $f(x)$ anteninin genişliği, $g(x)$ anteninin genişliğinden daha fazladır.
Cevap A seçeneğidir.
