Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $n$ kişinin bulunduğu bir grupta herkesin birbiriyle tokalaşması durumunda toplam tokalaşma sayısını veren formülü bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, kombinasyon mantığıyla çözülür ve günlük hayatta sıkça karşımıza çıkar.
- Problemi Anlayalım: Her tokalaşma iki kişi arasında gerçekleşir ve bir kişiyle tokalaşmak ile o kişinin sizinle tokalaşması aynı olaydır. Yani, A'nın B ile tokalaşması ile B'nin A ile tokalaşması tek bir tokalaşma sayılır.
- Küçük Örneklerle Başlayalım:
- 2 kişi varsa (A, B): Sadece 1 tokalaşma olur (A-B).
- 3 kişi varsa (A, B, C):
- A, B ile tokalaşır.
- A, C ile tokalaşır.
- B, C ile tokalaşır.
Toplam 3 tokalaşma olur.
- 4 kişi varsa (A, B, C, D):
- A, B, C, D ile tokalaşır (3 tokalaşma).
- B, C, D ile tokalaşır (A ile zaten tokalaştığı için B'nin sadece C ve D ile yeni tokalaşmaları sayılır: 2 tokalaşma).
- C, D ile tokalaşır (A ve B ile zaten tokalaştığı için C'nin sadece D ile yeni tokalaşması sayılır: 1 tokalaşma).
Toplam $3 + 2 + 1 = 6$ tokalaşma olur.
- Formülü Türetelim (Yöntem 1: Herkesin Tokalaşma Sayısı):
- Grupta $n$ kişi var.
- Her bir kişi, kendisi hariç diğer $(n-1)$ kişiyle tokalaşacaktır.
- Eğer $n$ kişiyi ve her birinin $(n-1)$ tokalaşmasını çarparsak, $n \times (n-1)$ sonucunu elde ederiz.
- Ancak, bu çarpımda her tokalaşmayı iki kez saymış oluruz (örneğin, A'nın B ile tokalaşmasını bir kez A için, bir kez de B için saymış oluruz).
- Bu nedenle, bulduğumuz sonucu 2'ye bölmemiz gerekir.
- Toplam tokalaşma sayısı: $\frac{n(n-1)}{2}$
- Formülü Türetelim (Yöntem 2: Kombinasyon Mantığı):
- Tokalaşma, 2 kişinin bir araya gelmesiyle oluşan bir olaydır.
- $n$ kişi arasından 2 kişiyi seçme yollarının sayısı, toplam tokalaşma sayısını verir.
- Bu, kombinasyon formülüyle ifade edilir: $C(n, 2) = \binom{n}{2}$.
- Kombinasyon formülü şöyledir: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
- Bizim durumumuzda $k=2$ olduğu için: $\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times 1 \times (n-2)!}$.
- $(n-2)!$ ifadeleri sadeleşir ve geriye $\frac{n(n-1)}{2}$ kalır.
- Seçenekleri Kontrol Edelim:
- A) $n(n-1)$ (Bu, her tokalaşmayı iki kez saydığımız durumdur.)
- B) $n(n+1)/2$ (Bu, $1+2+...+n$ toplamının formülüdür.)
- C) $n(n-1)/2$ (Bu, bizim türettiğimiz formüldür.)
- D) $n^2/2$ (Bu, doğru formül değildir.)
Her iki yöntemle de ulaştığımız formül $\frac{n(n-1)}{2}$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
