9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 3. senaryo Test 3

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 50^{\circ}$, $m(\widehat{B}) = 70^{\circ}$ ve $|AB| = 8$ cm'dir. Bir $DEF$ üçgeninde ise $m(\widehat{D}) = 50^{\circ}$ ve $m(\widehat{E}) = 70^{\circ}$ olduğu biliniyor.

Aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeni eştir.

B) $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeni benzerdir.

C) $|DE| = 8$ cm ise üçgenler eştir.

D) $|EF| = 8$ cm ise üçgenler benzerdir.

E) $|DF| = 8$ cm ise üçgenler benzerdir.

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle üçgenlerde benzerlik ve eşlik kavramlarını pekiştireceğimiz harika bir problem çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek, bu tür sorulara nasıl yaklaşmanız gerektiğini öğreneceksiniz. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Üçüncü Açıyı Hesaplayalım

  Soruda bize iki üçgen verilmiş: $ABC$ ve $DEF$. Her iki üçgenin de ikişer açısı biliniyor. Bir üçgenin iç açılarının toplamının $180^{\circ}$ olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi kullanarak her iki üçgenin de üçüncü açısını bulalım:

  • $ABC$ üçgeni için:
    • $m(\widehat{A}) = 50^{\circ}$
    • $m(\widehat{B}) = 70^{\circ}$
    • $m(\widehat{C}) = 180^{\circ} - (m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}))$
    • $m(\widehat{C}) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 70^{\circ})$
    • $m(\widehat{C}) = 180^{\circ} - 120^{\circ}$
    • $m(\widehat{C}) = 60^{\circ}$

    Yani, $ABC$ üçgeninin açıları $50^{\circ}$, $70^{\circ}$ ve $60^{\circ}$'dir. Ayrıca $|AB| = 8$ cm bilgisi verilmiş.

  • $DEF$ üçgeni için:
    • $m(\widehat{D}) = 50^{\circ}$
    • $m(\widehat{E}) = 70^{\circ}$
    • $m(\widehat{F}) = 180^{\circ} - (m(\widehat{D}) + m(\widehat{E}))$
    • $m(\widehat{F}) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 70^{\circ})$
    • $m(\widehat{F}) = 180^{\circ} - 120^{\circ}$
    • $m(\widehat{F}) = 60^{\circ}$

    Yani, $DEF$ üçgeninin açıları da $50^{\circ}$, $70^{\circ}$ ve $60^{\circ}$'dir.

• 2. Adım: Üçgenlerin Açılarını Karşılaştıralım ve Benzerlik Durumunu İnceleyelim

  Şimdi iki üçgenin açılarını karşılaştıralım:

  • $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 50^{\circ}$
  • $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 70^{\circ}$
  • $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) = 60^{\circ}$

  Gördüğümüz gibi, iki üçgenin karşılıklı tüm açıları birbirine eşittir. Geometride, iki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşitse (dolayısıyla üçüncü açıları da eşit olur), bu üçgenler Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre benzerdir. Bu durumda, $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeni kesinlikle benzerdir.

• 3. Adım: Seçenekleri Değerlendirelim

  Şimdi bulduğumuz bu bilgi ışığında seçenekleri tek tek inceleyelim:

  • A) $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeni eştir.

    Eşlik için sadece açıların eşit olması yetmez, karşılıklı kenar uzunluklarının da eşit olması gerekir. Bize sadece $|AB|=8$ cm bilgisi verilmiş, $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları hakkında kesin bir bilgi yok. Bu nedenle, üçgenlerin eş olduğu kesin değildir.

  • B) $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeni benzerdir.

    Yukarıdaki 2. adımda da belirttiğimiz gibi, iki üçgenin karşılıklı tüm açıları eşit olduğu için, bu üçgenler kesinlikle benzerdir. Bu ifade doğrudur.

  • C) $|DE| = 8$ cm ise üçgenler eştir.

    Bu bir koşullu ifadedir. Eğer $|DE| = 8$ cm olsaydı, ve $m(\widehat{A})=m(\widehat{D})=50^{\circ}$ ile $m(\widehat{B})=m(\widehat{E})=70^{\circ}$ açıları da eşit olduğu için, Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Teoremi'ne göre üçgenler eş olurdu. Ancak, bu durum soruda verilen kesin bir bilgi değil, bir varsayımdır. Soru bizden "kesinlikle doğru olan" ifadeyi bulmamızı istiyor. Bu ifade, bir koşul altında doğru olabilecek bir durumu belirtir, kendisi kesinlikle doğru değildir.

  • D) $|EF| = 8$ cm ise üçgenler benzerdir.

    Üçgenlerin benzer olduğu zaten açılardan dolayı kesindir. $|EF|=8$ cm olması bu benzerliği sağlamaz, benzerlik zaten koşulsuz olarak mevcuttur. Bu ifade de kesinlikle doğru değildir.

  • E) $|DF| = 8$ cm ise üçgenler benzerdir.

    Yine aynı şekilde, üçgenlerin benzer olduğu zaten açılardan dolayı kesindir. $|DF|=8$ cm olması benzerliği sağlamaz, benzerlik zaten koşulsuz olarak mevcuttur. Bu ifade de kesinlikle doğru değildir.

Tüm seçenekleri değerlendirdiğimizde, verilen bilgilerle kesinlikle doğru olan tek ifadenin üçgenlerin benzer olduğu sonucuna varırız.

Cevap B seçeneğidir.