11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 3. Senaryo Test 1

Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
$x^2 + y^2 = 13$
$x - y = 1$

A) $\{ (3, 2), (-2, -3) \}$

B) $\{ (2, 3), (-3, -2) \}$

C) $\{ (3, 2), (2, 3) \}$

D) $\{ (-3, -2), (2, -3) \}$

E) $\{ (3, -2), (-2, 3) \}$

Sevgili öğrenciler, bu tür denklem sistemlerini çözerken genellikle bir denklemden bir değişkeni çekip diğer denklemde yerine koyma (yerine koyma metodu) yöntemini kullanırız. Özellikle denklemlerden biri doğrusal (birinci dereceden) ise bu yöntem çok etkilidir.

• Denklemleri Tanımlayalım:

  Bize verilen denklem sistemi şöyledir:

  $x^2 + y^2 = 13$ (Bu bir çember denklemidir, ikinci dereceden)

  $x - y = 1$ (Bu bir doğru denklemidir, birinci dereceden)

• Doğrusal Denklemden Bir Değişkeni Çekelim:

  Doğrusal olan $x - y = 1$ denkleminden $x$ değişkenini $y$ cinsinden ifade edelim. Bunun için $-y$ ifadesini eşitliğin diğer tarafına atarız:

  $x = y + 1$

• Çektiğimiz Değişkeni Diğer Denklemde Yerine Koyalım:

  Şimdi $x = y + 1$ ifadesini $x^2 + y^2 = 13$ denklemindeki $x$ yerine yazalım:

  $(y + 1)^2 + y^2 = 13$

• Denklemi Çözmek İçin İfadeyi Açalım ve Düzenleyelim:

  $(y + 1)^2$ ifadesini $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliğini kullanarak açalım:

  $y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13$

  Benzer terimleri birleştirelim:

  $2y^2 + 2y + 1 = 13$

  Eşitliğin sağındaki $13$'ü sol tarafa atarak denklemi sıfıra eşitleyelim:

  $2y^2 + 2y + 1 - 13 = 0$

  $2y^2 + 2y - 12 = 0$

  Denklemi sadeleştirmek için her terimi $2$'ye bölelim:

  $y^2 + y - 6 = 0$

• Oluşan İkinci Dereceden Denklemi Çözelim:

  Şimdi $y^2 + y - 6 = 0$ denklemini çarpanlarına ayırarak $y$ değerlerini bulalım. Çarpımları $-6$ ve toplamları $1$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $3$ ve $-2$'dir.

  $(y + 3)(y - 2) = 0$

  Buradan iki farklı $y$ değeri elde ederiz:

  $y + 3 = 0 \implies y_1 = -3$

  $y - 2 = 0 \implies y_2 = 2$

• Bulduğumuz $y$ Değerlerine Karşılık Gelen $x$ Değerlerini Bulalım:

  Daha önce $x = y + 1$ olarak bulduğumuz ifadeyi kullanarak her bir $y$ değeri için $x$ değerini hesaplayalım:

  • $y_1 = -3$ için:

    $x_1 = -3 + 1 = -2$

    İlk çözüm çiftimiz: $(-2, -3)$

  • $y_2 = 2$ için:

    $x_2 = 2 + 1 = 3$

    İkinci çözüm çiftimiz: $(3, 2)$

• Çözüm Kümesini Yazalım:

  Bulduğumuz çözüm çiftlerini bir küme içinde ifade edelim:

  Çözüm Kümesi $= \{ (3, 2), (-2, -3) \}$

Bu çözüm kümesi, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.