$(x-3)^2(x+1) < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(-\infty, -1)$
B) $(-1, 3)$
C) $(-1, \infty)$
D) $(3, \infty)$
E) $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$
Bu eşitsizliği çözmek için adım adım ilerleyelim. Amacımız, çarpımın $0$'dan küçük olduğu ($negatif$ olduğu) $x$ değerlerini bulmaktır.
- Adım 1: Kritik Noktaları Bulma
- Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi $0$'a eşitleyerek kritik noktaları (kökleri) buluruz. Bu noktalar, ifadenin işaret değiştirebileceği yerlerdir.
- $(x-3)^2 = 0 \implies x-3 = 0 \implies x = 3$. Bu kök, çift katlı bir köktür (kuvveti $2$ olduğu için). Çift katlı köklerde işaret değişimi olmaz.
- $x+1 = 0 \implies x = -1$. Bu kök, tek katlı bir köktür (kuvveti $1$ olduğu için). Tek katlı köklerde işaret değişimi olur.
- Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
- Bulduğumuz kritik noktaları ($-1$ ve $3$) sayı doğrusu üzerinde küçükten büyüğe doğru yerleştirerek aralıkları belirleyelim.
- İfademiz $(x-3)^2(x+1)$ şeklindedir.
- $(x-3)^2$ terimi, bir sayının karesi olduğu için $x=3$ hariç her zaman pozitiftir. $x=3$ noktasında ise $0$'a eşittir. Bu terim işaret değişimine neden olmaz.
- $(x+1)$ terimi ise $x=-1$ noktasında $0$'a eşittir.
- $x < -1$ için (örneğin $x=-2$): $(x+1)$ terimi negatiftir ($-2+1 = -1$).
- $x > -1$ için (örneğin $x=0$): $(x+1)$ terimi pozitiftir ($0+1 = 1$).
- Şimdi tüm ifadenin işaretini inceleyelim:
- Aralık 1: $x < -1$ (yani $(-\infty, -1)$ aralığı)
- Bu aralıkta $(x-3)^2$ pozitiftir.
- Bu aralıkta $(x+1)$ negatiftir.
- Çarpım: $(+) \times (-) = (-)$. Yani, $(x-3)^2(x+1) < 0$.
- Aralık 2: $-1 < x < 3$ (yani $(-1, 3)$ aralığı)
- Bu aralıkta $(x-3)^2$ pozitiftir.
- Bu aralıkta $(x+1)$ pozitiftir.
- Çarpım: $(+) \times (+) = (+)$. Yani, $(x-3)^2(x+1) > 0$.
- Aralık 3: $x > 3$ (yani $(3, \infty)$ aralığı)
- Bu aralıkta $(x-3)^2$ pozitiftir.
- Bu aralıkta $(x+1)$ pozitiftir.
- Çarpım: $(+) \times (+) = (+)$. Yani, $(x-3)^2(x+1) > 0$.
- Kritik Noktalarda:
- $x = -1$ için: $(-1-3)^2(-1+1) = (-4)^2(0) = 0$. Eşitsizlik $0 < 0$ olmadığı için $x=-1$ çözüm kümesine dahil değildir.
- $x = 3$ için: $(3-3)^2(3+1) = (0)^2(4) = 0$. Eşitsizlik $0 < 0$ olmadığı için $x=3$ çözüm kümesine dahil değildir.
- Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme
- Bizden istenen $(x-3)^2(x+1) < 0$ eşitsizliğinin sağlandığı aralıklardır.
- Yukarıdaki incelemeye göre, ifadenin negatif olduğu tek aralık $(-\infty, -1)$'dir.
Çözüm kümesi $(-\infty, -1)$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
