Aşağıda verilen denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
$x - y = 1$
$x \cdot y = 6$
A) $\{(-2, -3), (3, 2)\}$
B) $\{(2, 3), (-3, -2)\}$
C) $\{(3, 2)\}$
D) $\{(-2, -3)\}$
E) $\emptyset$
Denklem sistemini çözmek için yerine koyma yöntemini kullanabiliriz. Bu yöntem, bir denklemden bir değişkeni çekip diğer denklemde yerine yazarak tek değişkenli bir denklem elde etmemizi sağlar.
- Adım 1: Birinci denklemden bir değişkeni çekme.
Verilen birinci denklem $x - y = 1$'dir. Bu denklemden $x$'i yalnız bırakalım: $x = y + 1$.
- Adım 2: Çekilen değişkeni ikinci denklemde yerine koyma.
Şimdi $x = y + 1$ ifadesini ikinci denklem olan $x \cdot y = 6$ denkleminde $x$ yerine yazalım: $(y + 1) \cdot y = 6$.
- Adım 3: Elde edilen denklemi çözme.
Denklemi düzenleyelim ve $y$ değerlerini bulalım:
$y^2 + y = 6$
$y^2 + y - 6 = 0$
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayırarak veya diskriminant formülüyle çözebiliriz. Çarpanlarına ayıralım: $(y + 3)(y - 2) = 0$.
Buradan iki farklı $y$ değeri elde ederiz:
$y + 3 = 0 \implies y_1 = -3$
$y - 2 = 0 \implies y_2 = 2$
- Adım 4: Bulunan $y$ değerlerine karşılık gelen $x$ değerlerini bulma.
Adım 1'de elde ettiğimiz $x = y + 1$ denklemini kullanarak her bir $y$ değeri için $x$ değerini bulalım:
Durum 1: Eğer $y = -3$ ise,
$x = -3 + 1 \implies x = -2$
Bu durumda çözüm çifti $(-2, -3)$ olur.
Durum 2: Eğer $y = 2$ ise,
$x = 2 + 1 \implies x = 3$
Bu durumda çözüm çifti $(3, 2)$ olur.
- Adım 5: Çözüm kümesini oluşturma.
Bulduğumuz çözüm çiftlerini bir küme içinde ifade ederiz. Çözüm kümesi $\{(-2, -3), (3, 2)\}$ şeklindedir.
Bu çözüm kümesi, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
