12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 3. Senaryo Test 1

Bir hareketlinin $t$ saniyede aldığı yol $s(t) = t^3-2t^2+5t$ metre fonksiyonu ile verilmektedir. Buna göre, hareketlinin $t=2$ anındaki anlık hızı kaç m/s'dir?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir hareketlinin zamana bağlı konumunu veren bir fonksiyonu kullanarak, belirli bir andaki anlık hızını bulmamız isteniyor. Anlık hız, konum fonksiyonunun zamana göre türevi alınarak bulunur. Haydi adımları takip edelim:

• Adım 1: Anlık Hızın Tanımı

  Bir hareketlinin $t$ anındaki konumu $s(t)$ fonksiyonu ile verildiğinde, $t$ anındaki anlık hızı, konum fonksiyonunun zamana göre birinci türevi ($s'(t)$ veya $v(t)$) ile bulunur. Yani, $v(t) = s'(t)$.

• Adım 2: Konum Fonksiyonunun Türevini Alma

  Bize verilen konum fonksiyonu $s(t) = t^3-2t^2+5t$ şeklindedir. Şimdi bu fonksiyonun $t$'ye göre türevini alalım. Türev kurallarını hatırlayalım: $d/dt(t^n) = nt^{n-1}$.

  • $t^3$'ün türevi: $3t^{3-1} = 3t^2$
  • $-2t^2$'nin türevi: $-2 \cdot (2t^{2-1}) = -4t$
  • $5t$'nin türevi: $5 \cdot (1t^{1-1}) = 5t^0 = 5 \cdot 1 = 5$

  Bu türevleri birleştirdiğimizde, hız fonksiyonunu $v(t)$ olarak elde ederiz:

  $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 4t + 5$ m/s.

• Adım 3: Belirtilen Anda Hızı Hesaplama

  Soruda bizden hareketlinin $t=2$ anındaki anlık hızı isteniyor. Bunun için bulduğumuz hız fonksiyonunda $t$ yerine $2$ yazmalıyız:

  $v(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 5$

  $v(2) = 3(4) - 8 + 5$

  $v(2) = 12 - 8 + 5$

  $v(2) = 4 + 5$

  $v(2) = 9$ m/s.

Buna göre, hareketlinin $t=2$ anındaki anlık hızı $9$ m/s'dir.

Cevap C seçeneğidir.