Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 4x + 5$ bir parabol denklemi olup, $ax^2 + bx + c$ genel formundadır. Burada $a=1$, $b=-4$, $c=5$ değerlerine sahiptir. Katsayı $a=1 > 0$ olduğu için parabolün kolları yukarıya doğrudur. Bu da fonksiyonun bir minimum değere sahip olacağı anlamına gelir.
Parabolün tepe noktasının (vertex) $x$-koordinatını bulmak için iki yöntem kullanabiliriz:
Yöntem 1: Tepe Noktası Formülü
Bir parabolün tepe noktasının $x$-koordinatı $x = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Fonksiyonumuz için $x = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$ olur.
Yöntem 2: Türev Kullanarak
Bir fonksiyonun yerel minimum veya maksimum noktalarını bulmak için birinci türevini alırız ve sıfıra eşitleriz. $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 5) = 2x - 4$. Türevi sıfıra eşitlediğimizde: $2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Her iki yöntemle de tepe noktasının $x$-koordinatını $x=2$ olarak bulduk. Şimdi bu noktadaki fonksiyon değerini bulalım: $f(2) = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$. Yani, parabolün tepe noktası $(2, 1)$'dir.
Şimdi seçenekleri teker teker inceleyelim:
A) $f(x)$ fonksiyonu $x=2$ noktasında yerel minimuma sahiptir.
Parabolün kolları yukarı doğru olduğu ve tepe noktası $x=2$ olduğu için, bu nokta fonksiyonun en küçük değerini aldığı yerdir. Dolayısıyla, $x=2$ noktasında bir yerel minimuma sahiptir. Bu ifade DOĞRUDUR.
B) $f(x)$ fonksiyonu $(-\infty, 2)$ aralığında azalandır.
Kolları yukarı doğru olan bir parabol, tepe noktasına kadar azalır ve tepe noktasından sonra artar. Tepe noktasının $x$-koordinatı $2$ olduğu için, $x < 2$ yani $(-\infty, 2)$ aralığında fonksiyon azalandır. Bunu türevle de kontrol edebiliriz: $f'(x) = 2x - 4$. Eğer $x < 2$ ise (örneğin $x=0$), $f'(0) = -4 < 0$ olur. Türev negatif olduğu için fonksiyon azalandır. Bu ifade DOĞRUDUR.
C) $f(x)$ fonksiyonu $(2, \infty)$ aralığında artandır.
Tepe noktasından sonra, yani $x > 2$ aralığında, fonksiyon artan olmalıdır. Türevle kontrol edelim: Eğer $x > 2$ ise (örneğin $x=3$), $f'(3) = 2(3) - 4 = 2 > 0$ olur. Türev pozitif olduğu için fonksiyon artandır. Bu ifade DOĞRUDUR.
D) $f(x)$ fonksiyonunun en küçük değeri $1$'dir.
Parabolün tepe noktasının $y$-koordinatı, fonksiyonun minimum değerini verir. Tepe noktasını $(2, 1)$ olarak bulmuştuk. Dolayısıyla, fonksiyonun en küçük değeri $1$'dir. Bu ifade DOĞRUDUR.
E) $f(x)$ fonksiyonu $(-\infty, 2)$ aralığında artandır.
Yukarıdaki B seçeneği açıklamasında belirttiğimiz gibi, fonksiyon $(-\infty, 2)$ aralığında azalandır. Bu ifade, B seçeneğinin tam tersini söylemektedir ve bu nedenle YANLIŞTIR.
Cevap E seçeneğidir.
