Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir kenarı duvara dayalı dikdörtgen şeklinde bir bahçenin alanını en büyük yapmaya çalışıyoruz. Toplam $120$ metre telimiz var ve duvar kenarına tel çekilmeyecek. Bu tür optimizasyon problemlerini adım adım çözerek en doğru sonuca ulaşabiliriz.
- Adım 1: Değişkenleri Belirleyelim ve Tel Uzunluğunu İfade Edelim
- Bahçenin duvara paralel olan kenarına uzunluk diyelim ve bunu $L$ ile gösterelim.
- Bahçenin duvara dik olan iki kenarına genişlik diyelim ve bunları $W$ ile gösterelim.
- Duvar kenarına tel çekilmeyeceği için, kullanacağımız telin toplam uzunluğu iki genişlik ve bir uzunluğun toplamı olacaktır. Yani, $W + L + W = 2W + L$.
- Bize toplam $120$ metre tel olduğu verildiğine göre, denklemimiz şu şekildedir: $2W + L = 120$.
- Adım 2: Bahçenin Alanını Tek Değişken Cinsinden Yazalım
- Bir dikdörtgenin alanı, uzunluk ile genişliğin çarpımıdır: $A = L \times W$.
- Şimdi, Adım 1'deki tel uzunluğu denkleminden $L$ değerini $W$ cinsinden ifade edelim: $L = 120 - 2W$.
- Bu $L$ ifadesini alan formülünde yerine yazalım: $A(W) = (120 - 2W) \times W$.
- Denklemi dağıtırsak: $A(W) = 120W - 2W^2$.
- Bu ifade, bir parabol denklemi olup, $W^2$ teriminin katsayısı negatif ($-2$) olduğu için parabol aşağı doğru açılır. Bu da demektir ki, parabolün tepe noktasında bir maksimum değer vardır.
- Adım 3: Alanı Maksimum Yapan Genişliği (W) Bulalım
- Bir $ax^2 + bx + c$ şeklindeki parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı $x = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Bizim durumumuzda $A(W) = -2W^2 + 120W$ denkleminde $a = -2$ ve $b = 120$'dir.
- Bu formülü kullanarak $W$ değerini bulalım: $W = -\frac{120}{2 \times (-2)} = -\frac{120}{-4} = 30$.
- Demek ki, bahçenin alanı $W = 30$ metre olduğunda en büyük değerini alacaktır.
- Adım 4: Maksimum Alanı ve Diğer Boyutu Hesaplayalım
- Genişlik $W = 30$ metre olduğuna göre, uzunluk $L$ değerini bulalım: $L = 120 - 2W = 120 - 2 \times 30 = 120 - 60 = 60$ metre.
- Şimdi bu boyutlarla bahçenin maksimum alanını hesaplayalım: $A = L \times W = 60 \times 30 = 1800$ metrekare.
Bu adımları takip ederek, bahçenin alanının en fazla $1800$ metrekare olabileceğini bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
