Parçalı fonksiyon ve mutlak değer fonksiyonu ilişkisi nedir? Test 1

f(x) = |x²-4| fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun parçalı fonksiyon olarak ifadesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Kritik noktalar x=-2 ve x=2'dir
B) x ≤ -2 ve x ≥ 2 aralıklarında f(x) = x²-4'tür
C) -2 < x < 2 aralığında f(x) = -x²+4'tür
D) Fonksiyon sadece 2 parçadan oluşur

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, mutlak değer içeren bir fonksiyonun parçalı fonksiyon olarak nasıl ifade edildiğini anlamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Mutlak Değer Fonksiyonunun Tanımı:

  Bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve daima pozitif veya sıfırdır. Matematiksel olarak, $|a|$ ifadesi şu şekilde tanımlanır:

  • Eğer $a \ge 0$ ise, $|a| = a$
  • Eğer $a < 0$ ise, $|a| = -a$

  Bizim fonksiyonumuz $f(x) = |x^2-4|$ olduğu için, $a$ yerine $x^2-4$ ifadesini alacağız.

• 2. Kritik Noktaları Bulma:

  Mutlak değerin içindeki ifade olan $x^2-4$'ün işaret değiştirdiği noktalar, kritik noktalardır. Bu noktaları bulmak için $x^2-4 = 0$ denklemini çözeriz.

  • $x^2 = 4$
  • $x = \sqrt{4}$ veya $x = -\sqrt{4}$
  • $x = 2$ veya $x = -2$

  Bu durumda, kritik noktalar $x=-2$ ve $x=2$'dir. Bu, A seçeneğinin doğru olduğunu gösterir.

• 3. İşaret İncelemesi ve Aralıkları Belirleme:

  Kritik noktalarımız $x=-2$ ve $x=2$, sayı doğrusunu üç ana aralığa böler:

  • Aralık 1: $x < -2$ (veya $x \le -2$)

    Bu aralıkta bir değer seçelim, örneğin $x=-3$. $x^2-4 = (-3)^2-4 = 9-4 = 5$. Gördüğümüz gibi, $x^2-4$ ifadesi pozitiftir. Dolayısıyla, $f(x) = |x^2-4| = x^2-4$ olur.

  • Aralık 2: $-2 < x < 2$

    Bu aralıkta bir değer seçelim, örneğin $x=0$. $x^2-4 = (0)^2-4 = -4$. Gördüğümüz gibi, $x^2-4$ ifadesi negatiftir. Dolayısıyla, $f(x) = |x^2-4| = -(x^2-4) = -x^2+4$ olur.

  • Aralık 3: $x > 2$ (veya $x \ge 2$)

    Bu aralıkta bir değer seçelim, örneğin $x=3$. $x^2-4 = (3)^2-4 = 9-4 = 5$. Gördüğümüz gibi, $x^2-4$ ifadesi pozitiftir. Dolayısıyla, $f(x) = |x^2-4| = x^2-4$ olur.

• 4. Parçalı Fonksiyon İfadesi ve Seçeneklerin Değerlendirilmesi:

  Yukarıdaki incelemelere göre, $f(x)$ fonksiyonunu parçalı olarak şu şekilde yazabiliriz:

  $$f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{eğer } x \le -2 \\ -x^2+4 & \text{eğer } -2 < x < 2 \\ x^2-4 & \text{eğer } x \ge 2 \end{cases}$$

  Şimdi seçenekleri inceleyelim:

  • A) Kritik noktalar $x=-2$ ve $x=2$'dir

    Yukarıda bulduğumuz gibi, bu ifade doğrudur.

  • B) $x \le -2$ ve $x \ge 2$ aralıklarında $f(x) = x^2-4$'tür

    İşaret incelememizde bu aralıklarda $x^2-4$ ifadesinin pozitif olduğunu ve dolayısıyla $f(x) = x^2-4$ olduğunu gördük. Bu ifade doğrudur.

  • C) $-2 < x < 2$ aralığında $f(x) = -x^2+4$'tür

    İşaret incelememizde bu aralıkta $x^2-4$ ifadesinin negatif olduğunu ve dolayısıyla $f(x) = -(x^2-4) = -x^2+4$ olduğunu gördük. Bu ifade doğrudur.

  • D) Fonksiyon sadece 2 parçadan oluşur

    Parçalı fonksiyon ifadesine baktığımızda, fonksiyonun tanımı için üç farklı aralık ve üç farklı kural kullandığımızı görüyoruz. Her ne kadar birinci ($x \le -2$) ve üçüncü ($x \ge 2$) parçaların cebirsel ifadesi aynı ($x^2-4$) olsa da, bunlar farklı ve ayrık aralıklara karşılık gelir. Dolayısıyla, fonksiyon 3 parçadan oluşur. Bu ifade yanlıştır.

Soru bizden yanlış olan ifadeyi bulmamızı istediği için, doğru cevap D seçeneğidir.

Cevap D seçeneğidir.