Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesi, o fonksiyonu tanımlı yapan tüm $x$ değerlerinin kümesidir. Yani, fonksiyonun matematiksel olarak anlamlı olduğu $x$ değerleridir.
Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x+2}{x-4}$ rasyonel bir fonksiyondur (yani bir kesirli ifadedir).
- Rasyonel fonksiyonlarda, payda kısmının sıfır olmaması gerekir. Çünkü bir sayıyı sıfıra bölmek matematiksel olarak tanımsızdır.
- Bu nedenle, fonksiyonun paydasını alıp sıfıra eşitleyerek hangi $x$ değerlerinin fonksiyonu tanımsız yaptığını bulmalıyız. Bu değerleri tanım kümesinden çıkarmamız gerekecektir.
- Fonksiyonumuzun paydası $x-4$'tür.
- Paydayı sıfıra eşitleyelim: $x-4 = 0$.
- Bu denklemi çözmek için her iki tarafa $4$ ekleyelim: $x = 4$.
- Bu sonuç, $x=4$ olduğunda paydanın sıfır olacağı ve dolayısıyla fonksiyonun bu noktada tanımsız olacağı anlamına gelir.
- Bu durumda, $x=4$ değeri fonksiyonun tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
- Diğer tüm reel (gerçek) sayılar için fonksiyon tanımlıdır, yani payda sıfır olmaz ve fonksiyonun değeri hesaplanabilir.
- Dolayısıyla, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi, tüm reel sayılar kümesinden ($\mathbb{R}$) $4$ sayısının çıkarılmasıyla elde edilir. Bu durum $\mathbb{R} - \{4\}$ şeklinde gösterilir.
Seçeneklere baktığımızda, bu ifade C seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
