10. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Ülke Geneli Ortak Sınav Test 1

$f: [2, \infty) \to [0, \infty)$, $f(x) = \sqrt{x-2}$ fonksiyonunun ters fonksiyonu $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $f^{-1}(x) = x^2+2$, $x \ge 0$

B) $f^{-1}(x) = x^2-2$, $x \ge 0$

C) $f^{-1}(x) = (x-2)^2$, $x \ge 0$

D) $f^{-1}(x) = \sqrt{x+2}$, $x \ge 0$

E) $f^{-1}(x) = x^2+2$, $x \ge 2$

Bir fonksiyonun tersini bulmak, aslında fonksiyonun yaptığı işlemin tam tersini yapmaktır. Tıpkı bir sayıyı topladıktan sonra çıkarmak gibi düşünebilirsiniz. Şimdi adım adım $f(x) = \sqrt{x-2}$ fonksiyonunun tersini bulalım.

• 1. Adım: Fonksiyonu $y$ ile ifade etme.

  Öncelikle $f(x)$ yerine $y$ yazarak fonksiyonumuzu daha rahat işlem yapabileceğimiz bir hale getirelim:

  $y = f(x) = \sqrt{x-2}$

• 2. Adım: $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerini değiştirme.

  Ters fonksiyonu bulmak için temel mantık, $x$ ve $y$ arasındaki ilişkiyi tersine çevirmektir. Bu yüzden denklemdeki $x$ yerine $y$, $y$ yerine $x$ yazıyoruz:

  $x = \sqrt{y-2}$

• 3. Adım: Yeni denklemi $y$ için çözme.

  Şimdi amacımız, $y$'yi yalnız bırakarak $x$ cinsinden ifade etmektir. Bunun için her iki tarafın karesini alalım:

  $(x)^2 = (\sqrt{y-2})^2$

  $x^2 = y-2$

  Şimdi $y$'yi yalnız bırakmak için $-2$'yi eşitliğin diğer tarafına atalım:

  $y = x^2+2$

  Bu bulduğumuz ifade, $f^{-1}(x)$ fonksiyonunun kuralıdır.

• 4. Adım: Ters fonksiyonun tanım kümesini (domain) belirleme.

  Bir fonksiyonun tersinin tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesine (görüntü kümesi veya range) eşittir. Soru bize $f$ fonksiyonunun değer kümesini $[0, \infty)$ olarak vermiştir.

  Bu durumda, $f^{-1}(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi de $[0, \infty)$ olacaktır. Yani $x \ge 0$ olmalıdır.

• 5. Adım: Ters fonksiyonu yazma.

  Bulduğumuz kuralı ve tanım kümesini birleştirerek ters fonksiyonu yazalım:

  $f^{-1}(x) = x^2+2$, $x \ge 0$

• 6. Adım: Seçeneklerle karşılaştırma.

  Bulduğumuz sonuç, seçenek A ile birebir uyuşmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.