"MATEMATİK" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
A) $9!$
B) $\frac{9!}{2! \cdot 2!}$
C) $\frac{9!}{3! \cdot 2!}$
D) $\frac{9!}{2! \cdot 2! \cdot 2!}$
E) $9! - (2! \cdot 2!)$
Sevgili öğrenciler, bu tür sorular, belirli harflerin tekrar ettiği durumlarda kaç farklı sıralama (kelime) yapılabileceğini bulmamızı sağlayan permütasyon konusuna aittir. Adım adım bu soruyu nasıl çözeceğimize bakalım:
- Adım 1: Toplam Harf Sayısını Bulalım
- Öncelikle "MATEMATİK" kelimesindeki harfleri sayalım.
- M, A, T, E, M, A, T, İ, K olmak üzere toplam $9$ harf bulunmaktadır. Bu bizim $n$ değerimizdir. Yani $n=9$.
- Adım 2: Tekrar Eden Harfleri ve Tekrar Sayılarını Belirleyelim
- Şimdi kelime içindeki hangi harflerin tekrar ettiğini ve kaçar kez tekrar ettiğini bulalım:
- "M" harfi $2$ kez tekrar ediyor.
- "A" harfi $2$ kez tekrar ediyor.
- "T" harfi $2$ kez tekrar ediyor.
- "E", "İ", "K" harfleri ise sadece $1$ kez tekrar ediyor (yani tekrar etmiyorlar).
- Adım 3: Tekrarlı Permütasyon Formülünü Hatırlayalım
- Eğer $n$ tane nesnenin içinde $n_1$ tanesi aynı türden, $n_2$ tanesi aynı türden, ..., $n_k$ tanesi aynı türden ise, bu nesnelerin farklı sıralanışlarının sayısı şu formülle bulunur:
- $\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}$
- Burada $n$ toplam nesne sayısı, $n_1, n_2, \ldots, n_k$ ise tekrar eden nesnelerin sayılarıdır.
- Adım 4: Formülü Uygulayalım
- Bulduğumuz değerleri formülde yerine yazalım:
- Toplam harf sayısı $n=9$.
- Tekrar eden harfler ve sayıları: "M" için $n_M=2$, "A" için $n_A=2$, "T" için $n_T=2$.
- Bu durumda formülümüz şöyle olur: $\frac{9!}{2! \cdot 2! \cdot 2!}$
- Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, D seçeneğinin bizim sonucumuzla aynı olduğunu görürüz.
Cevap D seçeneğidir.
