$(x-3)(x+5) \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $[-5, 3]$
B) $(-\infty, -5] \cup [3, \infty)$
C) $(-5, 3)$
D) $[-3, 5]$
E) $(-\infty, -3] \cup [5, \infty)$
Bu tür eşitsizlikleri çözerken, öncelikle ifadeyi sıfır yapan kritik noktaları bulmamız gerekir. Daha sonra bu noktaları sayı doğrusunda işaretleyerek oluşan aralıklarda ifadenin işaretini inceleyeceğiz.
- Kritik Noktaları Bulma: Eşitsizliğimiz $(x-3)(x+5) \le 0$ şeklindedir. İfadeyi sıfır yapan $x$ değerlerini bulmak için her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleriz:
- $x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$
- $x+5 = 0 \Rightarrow x = -5$
Bu değerler, eşitsizliğin işaret değiştirebileceği kritik noktalardır.
- Sayı Doğrusunda İşaret İncelemesi: Bulduğumuz kritik noktaları ($-5$ ve $3$) sayı doğrusuna yerleştirdiğimizde, sayı doğrusu üç farklı aralığa ayrılır: $(-\infty, -5)$, $(-5, 3)$ ve $(3, \infty)$. Şimdi her bir aralıkta $(x-3)(x+5)$ ifadesinin işaretini inceleyelim:
- $x < -5$ aralığı için (örneğin $x = -6$ alalım):
- $x-3 = -6-3 = -9$ (negatif)
- $x+5 = -6+5 = -1$ (negatif)
- Çarpım: $(-9) \cdot (-1) = 9$ (pozitif)
- $-5 < x < 3$ aralığı için (örneğin $x = 0$ alalım):
- $x-3 = 0-3 = -3$ (negatif)
- $x+5 = 0+5 = 5$ (pozitif)
- Çarpım: $(-3) \cdot (5) = -15$ (negatif)
- $x > 3$ aralığı için (örneğin $x = 4$ alalım):
- $x-3 = 4-3 = 1$ (pozitif)
- $x+5 = 4+5 = 9$ (pozitif)
- Çarpım: $(1) \cdot (9) = 9$ (pozitif)
- Çözüm Kümesini Belirleme: Eşitsizliğimiz $(x-3)(x+5) \le 0$ olduğundan, ifadenin negatif olduğu veya sıfıra eşit olduğu aralıkları arıyoruz.
- Yukarıdaki incelemeye göre, ifade $-5 < x < 3$ aralığında negatiftir.
- Eşitsizlik $\le 0$ olduğu için, ifadeyi sıfır yapan kritik noktalar olan $x=-5$ ve $x=3$ de çözüm kümesine dahil edilmelidir.
Bu durumda çözüm kümesi, $-5$ ve $3$ dahil olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm reel sayılardır. Bu aralık kapalı aralık gösterimiyle $[-5, 3]$ şeklinde ifade edilir.
Cevap A seçeneğidir.
