10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo meb Test 1

Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı kız, %40'ı erkektir. Kız öğrencilerin %30'u, erkek öğrencilerin %20'si matematik dersinden başarılı olmuştur. Rastgele seçilen bir öğrencinin matematik dersinden başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{18}{26}$

B) $\frac{12}{26}$

C) $\frac{18}{100}$

D) $\frac{8}{100}$

E) $\frac{30}{100}$

Bu problemde, olasılık konusunda önemli bir kavram olan koşullu olasılığı kullanarak, verilen bilgileri adım adım değerlendireceğiz. Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığını nasıl bulacağımızı görelim.

• 1. Adım: Verilen Bilgileri ve Olasılıkları Tanımlayalım

• Öncelikle, problemde bize verilen oranları olasılık olarak ifade edelim:

  Sınıftaki öğrencilerin kız olma olasılığı ($P(\text{Kız})$): $0.60$ (%60)

  Sınıftaki öğrencilerin erkek olma olasılığı ($P(\text{Erkek})$): $0.40$ (%40)

  Kız öğrencilerin matematikten başarılı olma olasılığı ($P(\text{Başarılı}|\text{Kız})$): $0.30$ (%30)

  Erkek öğrencilerin matematikten başarılı olma olasılığı ($P(\text{Başarılı}|\text{Erkek})$): $0.20$ (%20)

  Bizden istenen ise, rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız öğrenci olma olasılığıdır. Yani $P(\text{Kız}|\text{Başarılı})$ değerini bulmamız gerekiyor.

• 2. Adım: Kız Öğrenciler Arasından Başarılı Olanların Oranını Bulalım

• Tüm sınıf içindeki hem kız hem de matematikten başarılı olan öğrencilerin oranını bulmak için, kız olma olasılığı ile kızların başarılı olma olasılığını çarparız:

  $P(\text{Kız ve Başarılı}) = P(\text{Başarılı}|\text{Kız}) \cdot P(\text{Kız})$

  $P(\text{Kız ve Başarılı}) = 0.30 \cdot 0.60 = 0.18$

  Bu, tüm öğrencilerin %18'inin hem kız hem de matematikten başarılı olduğu anlamına gelir.

• 3. Adım: Erkek Öğrenciler Arasından Başarılı Olanların Oranını Bulalım

• Benzer şekilde, tüm sınıf içindeki hem erkek hem de matematikten başarılı olan öğrencilerin oranını bulalım:

  $P(\text{Erkek ve Başarılı}) = P(\text{Başarılı}|\text{Erkek}) \cdot P(\text{Erkek})$

  $P(\text{Erkek ve Başarılı}) = 0.20 \cdot 0.40 = 0.08$

  Bu da tüm öğrencilerin %8'inin hem erkek hem de matematikten başarılı olduğu anlamına gelir.

• 4. Adım: Sınıftaki Tüm Başarılı Öğrencilerin Oranını Bulalım

• Sınıftaki tüm başarılı öğrencilerin oranı, kızlardan başarılı olanlar ile erkeklerden başarılı olanların oranlarının toplamıdır:

  $P(\text{Başarılı}) = P(\text{Kız ve Başarılı}) + P(\text{Erkek ve Başarılı})$

  $P(\text{Başarılı}) = 0.18 + 0.08 = 0.26$

  Yani, tüm öğrencilerin %26'sı matematikten başarılı olmuştur.

• 5. Adım: Koşullu Olasılığı Hesaplayalım

• Şimdi asıl sorumuza gelelim: Rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı ($P(\text{Kız}|\text{Başarılı})$) kaçtır?

  Koşullu olasılık formülünü kullanalım:

  $P(\text{Kız}|\text{Başarılı}) = \frac{P(\text{Kız ve Başarılı})}{P(\text{Başarılı})}$

  Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:

  $P(\text{Kız}|\text{Başarılı}) = \frac{0.18}{0.26}$

  Bu kesri daha anlaşılır bir hale getirmek için pay ve paydayı 100 ile çarpabiliriz:

  $P(\text{Kız}|\text{Başarılı}) = \frac{0.18 \cdot 100}{0.26 \cdot 100} = \frac{18}{26}$

  Bu sonuç, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.