Bir torbada $5$ kırmızı ve $3$ mavi top bulunmaktadır. Torbadan rastgele art arda iki top çekiliyor ve çekilen toplar geri atılmıyor. Birinci topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A) $\frac{5}{8}$
B) $\frac{4}{7}$
C) $\frac{5}{7}$
D) $\frac{4}{8}$
E) $\frac{3}{7}$
Bu soruda, torbadan art arda top çekme ve çekilen topların geri atılmaması durumuyla karşılaşıyoruz. Bu tür problemler, olasılık hesaplamalarında torbanın içeriğinin her çekimden sonra değiştiği anlamına gelir. Şimdi adımlara geçelim:
1. Torbadaki Topların Başlangıç Durumu:
- Başlangıçta torbada $5$ kırmızı top ve $3$ mavi top bulunmaktadır.
- Torbadaki toplam top sayısı: $5 + 3 = 8$ top.
2. Birinci Topun Kırmızı Çekildiği Bilgisi:
- Soruda bize, birinci topun kırmızı olduğu bilgisi verilmiştir. Bu bilgi, torbanın ikinci çekimden önceki durumunu belirler.
- Birinci top kırmızı olarak çekildi ve çekilen top geri atılmadı. Bu "geri atılmama" durumu çok önemlidir, çünkü torbanın içeriğini değiştirir.
3. Birinci Çekimden Sonra Torbanın Yeni Durumu:
- Bir kırmızı top çekildiği için, torbadaki kırmızı top sayısı $5 - 1 = 4$ kırmızı topa düşer.
- Mavi top sayısı değişmez, hala $3$ mavi top vardır.
- Torbadaki toplam top sayısı da $8 - 1 = 7$ topa düşer.
- Yani, ikinci topu çekmeden önce torbada $4$ kırmızı ve $3$ mavi top olmak üzere toplam $7$ top kalmıştır.
4. İkinci Topun Kırmızı Olma Olasılığı:
- Şimdi, torbada kalan $4$ kırmızı top ve $3$ mavi top arasından ikinci bir top çekiyoruz.
- İkinci topun da kırmızı olma olasılığı, torbada kalan kırmızı top sayısının, torbada kalan toplam top sayısına oranıdır.
- Olasılık = (Kalan kırmızı top sayısı) / (Kalan toplam top sayısı)
- Olasılık = $\frac{4}{7}$
Bu durumda, birinci topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci topun da kırmızı olma olasılığı $\frac{4}{7}$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
