Bir dikdörtgenin alanı $96 \text{ cm}^2$'dir. Dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarından $4 \text{ cm}$ daha uzundur. Buna göre, bu dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu kaç santimetredir?
A) $6$
B) $8$
C) $10$
D) $12$
E) $16$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde bir dikdörtgenin alanı ve kenarları arasındaki ilişki verilmiş. Kısa kenarın uzunluğunu bulmak için adım adım ilerleyelim.
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Dikdörtgenin alanı $96 \text{ cm}^2$'dir.
- Dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarından $4 \text{ cm}$ daha uzundur.
- Bizden kısa kenarın uzunluğunu bulmamız isteniyor.
- 2. Bilinmeyeni Tanımlayalım:
- Kısa kenarın uzunluğuna bir harf verelim. Genellikle $x$ kullanılır. O halde, kısa kenar $x \text{ cm}$ olsun.
- Uzun kenar, kısa kenardan $4 \text{ cm}$ daha uzun olduğuna göre, uzun kenar $x + 4 \text{ cm}$ olacaktır.
- 3. Alan Formülünü Kullanarak Denklemi Kuralım:
- Bir dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımına eşittir. Yani, Alan = Uzun Kenar $\times$ Kısa Kenar.
- Verilen bilgilere göre denklemi yazalım: $96 = (x + 4) \times x$.
- 4. Denklemi Çözelim:
- Denklemi düzenleyelim: $96 = x^2 + 4x$.
- Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Denklemin tüm terimlerini bir tarafa toplayalım: $x^2 + 4x - 96 = 0$.
- Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-96$ ve toplamları $4$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $12$ ve $-8$'dir.
- Yani, denklemi $(x + 12)(x - 8) = 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Bu çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir:
- $x + 12 = 0 \implies x = -12$
- $x - 8 = 0 \implies x = 8$
- 5. Sonucu Yorumlayalım:
- $x$ bir uzunluğu temsil ettiği için negatif olamaz. Bu yüzden $x = -12$ cevabı geçersizdir.
- O halde, kısa kenarın uzunluğu $x = 8 \text{ cm}$'dir.
- 6. Cevabımızı Kontrol Edelim:
- Kısa kenar $8 \text{ cm}$ ise, uzun kenar $8 + 4 = 12 \text{ cm}$ olur.
- Alan = $12 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 96 \text{ cm}^2$. Bu da soruda verilen alan bilgisiyle eşleşiyor.
Buna göre, dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu $8 \text{ cm}$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
