11. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 2

Yarıçapı $3 \text{ cm}$ olan bir küre, bir dik dairesel silindirin içine tam olarak yerleştirilmiştir. Yani küre, silindirin alt ve üst tabanlarına ve yan yüzeyine teğettir.
Buna göre, silindirin hacmi kaç $\pi \text{ cm}^3$'tür?

A) $27\pi$

B) $36\pi$

C) $54\pi$

D) $72\pi$

E) $81\pi$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir kürenin bir silindirin içine tam olarak nasıl yerleştirildiğini ve bu durumun silindirin boyutlarını nasıl etkilediğini anlamamız gerekiyor. Ardından, silindirin hacmini hesaplayacağız. Haydi adım adım çözelim:

• 1. Kürenin Yarıçapını Belirleyelim:

  Soruda bize kürenin yarıçapının $3 \text{ cm}$ olduğu verilmiş. Bu bilgiyi $r_{küre} = 3 \text{ cm}$ olarak not edelim.

• 2. Silindirin Yarıçapını Bulalım:

  Küre, silindirin yan yüzeyine teğet olduğuna göre, silindirin taban yarıçapı, kürenin yarıçapına eşit olmalıdır. Yani, silindirin yarıçapı $R_{silindir} = r_{küre} = 3 \text{ cm}$ olur.

• 3. Silindirin Yüksekliğini Bulalım:

  Küre, silindirin alt ve üst tabanlarına teğet olduğuna göre, silindirin yüksekliği, kürenin çapına eşit olmalıdır. Kürenin çapı, yarıçapının iki katıdır. Bu durumda, silindirin yüksekliği $h_{silindir} = 2 \times r_{küre} = 2 \times 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm}$ olur.

• 4. Silindirin Hacim Formülünü Hatırlayalım:

  Bir dik dairesel silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. Taban alanı bir daire olduğu için formül $V_{silindir} = \pi R_{silindir}^2 h_{silindir}$ şeklindedir.

• 5. Silindirin Hacmini Hesaplayalım:

  Şimdi bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım:

  • $R_{silindir} = 3 \text{ cm}$
  • $h_{silindir} = 6 \text{ cm}$
  • $V_{silindir} = \pi \times (3 \text{ cm})^2 \times (6 \text{ cm})$
  • $V_{silindir} = \pi \times 9 \text{ cm}^2 \times 6 \text{ cm}$
  • $V_{silindir} = 54\pi \text{ cm}^3$

Buna göre, silindirin hacmi $54\pi \text{ cm}^3$'tür.

Cevap C seçeneğidir.