Bir P noktasından bir çembere çizilen teğet doğru, çembere T noktasında değmektedir. PT doğru parçasının uzunluğu $12$ birimdir. Aynı P noktasından çizilen bir kesen doğru, çemberi A ve B noktalarında kesmektedir. PA doğru parçasının uzunluğu $8$ birim olduğuna göre, AB doğru parçasının uzunluğu kaç birimdir?
A) $8$
B) $9$
C) $10$
D) $12$
E) $15$
Sevgili öğrenciler, bu problemde çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet ve kesen doğruların uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Bu ilişki, geometride Kuvvet Teoremi'nin bir uygulaması olan Teğet-Kesen Teoremi olarak bilinir.
- Öncelikle, soruda verilen bilgileri ve bizden isteneni belirleyelim:
- P noktasından çembere çizilen teğet doğru, çembere T noktasında değiyor.
- $PT$ doğru parçasının uzunluğu $12$ birimdir. Yani $PT = 12$.
- Aynı P noktasından çizilen kesen doğru, çemberi A ve B noktalarında kesiyor.
- $PA$ doğru parçasının uzunluğu $8$ birimdir. Yani $PA = 8$.
- Bizden $AB$ doğru parçasının uzunluğunu bulmamız isteniyor.
- Teğet-Kesen Teoremi'ne göre, bir çembere dışındaki bir P noktasından çizilen teğet doğru parçasının uzunluğunun karesi ($PT^2$), aynı noktadan çizilen bir kesen doğrunun çemberi kestiği noktalar arasındaki dış parçasının uzunluğu ($PA$) ile tüm kesen parçasının uzunluğunun ($PB$) çarpımına eşittir. Bu teoremi matematiksel olarak şu şekilde ifade ederiz:
$$PT^2 = PA \cdot PB$$
- Şimdi verilen değerleri bu formülde yerine yazalım:
$$12^2 = 8 \cdot PB$$
- Denklemi çözerek $PB$ uzunluğunu bulalım:
$$144 = 8 \cdot PB$$
$$PB = \frac{144}{8}$$
$$PB = 18$$
Buna göre, P noktasından B noktasına kadar olan kesen doğrunun toplam uzunluğu $18$ birimdir.
- Bizden $AB$ doğru parçasının uzunluğu isteniyor. Kesen doğru parçasının tamamı $PB$ olup, bu parça $PA$ ve $AB$ doğru parçalarının toplamından oluşur. Yani:
$$PB = PA + AB$$
- Bulduğumuz $PB$ değerini ve verilen $PA$ değerini bu denklemde yerine yazalım:
$$18 = 8 + AB$$
- Denklemi çözerek $AB$ uzunluğunu bulalım:
$$AB = 18 - 8$$
$$AB = 10$$
Böylece, $AB$ doğru parçasının uzunluğunun $10$ birim olduğunu buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
