Merhaba sevgili öğrenciler,
Bir fonksiyonun yerel minimum noktasını bulmak için türev alma kurallarını ve ikinci türev testini kullanırız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma
- Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$'tir. Yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevini ($f'(x)$) almamız gerekir.
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(5)$
- $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$
- Adım 2: Kritik Noktaları Bulma
- Yerel ekstremumların (minimum veya maksimum) olabileceği noktalar, birinci türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. Polinom fonksiyonlar her yerde türevlenebilir olduğundan, sadece $f'(x) = 0$ denklemini çözmemiz yeterlidir.
- $3x^2 - 6x - 9 = 0$
- Denklemi 3 ile sadeleştirelim:
- $x^2 - 2x - 3 = 0$
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulalım:
- $(x-3)(x+1) = 0$
- Buradan kritik noktalarımız $x=3$ ve $x=-1$ olarak bulunur.
- Adım 3: Fonksiyonun İkinci Türevini Bulma
- Kritik noktaların yerel minimum mu yoksa yerel maksimum mu olduğunu belirlemek için ikinci türev testini kullanırız. Bunun için fonksiyonun ikinci türevini ($f''(x)$) almamız gerekir.
- $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$
- $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(6x) - \frac{d}{dx}(9)$
- $f''(x) = 6x - 6$
- Adım 4: İkinci Türev Testini Uygulama
- Bulduğumuz kritik noktaları ikinci türevde yerine koyarak işaretlerini inceleyelim:
- $x=3$ için:
- $f''(3) = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12$
- $f''(3) = 12 > 0$ olduğu için, $x=3$ noktasında bir yerel minimum vardır.
- $x=-1$ için:
- $f''(-1) = 6(-1) - 6 = -6 - 6 = -12$
- $f''(-1) = -12 < 0$ olduğu için, $x=-1$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
- Soru bizden yerel minimum noktasını istediği için $x=3$ değerini kullanacağız.
- Adım 5: Yerel Minimum Noktasının Koordinatlarını Bulma
- Yerel minimum noktasının $x$-koordinatı $x=3$'tür. Bu noktanın $y$-koordinatını bulmak için $x=3$ değerini orijinal $f(x)$ fonksiyonunda yerine koyarız.
- $f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5$
- $f(3) = 27 - 3(9) - 27 + 5$
- $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5$
- $f(3) = -27 + 5$
- $f(3) = -22$
- Buna göre, fonksiyonun yerel minimum noktasının koordinatları $(3, -22)$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
