Bir küpün tüm ayrıt uzunlukları 3 katına çıkarıldığında, bu küpün yüzey alanının hacmine oranı ($S/V$) başlangıçtaki orana göre nasıl değişir?
A) 3 katına çıkarBaşlangıçtaki küpün bir ayrıt uzunluğunu $a$ olarak kabul edelim.
Başlangıçtaki Yüzey Alanı ($S_1$): Bir küpün 6 adet eş karesel yüzeyi vardır. Her bir yüzeyin alanı $a \times a = a^2$ olduğundan, toplam yüzey alanı $S_1 = 6a^2$ olur.
Başlangıçtaki Hacim ($V_1$): Bir küpün hacmi, ayrıt uzunluğunun küpü ile bulunur. Yani $V_1 = a^3$ olur.
Başlangıçtaki oran $R_1 = \frac{S_1}{V_1}$ şeklinde ifade edilir.
$R_1 = \frac{6a^2}{a^3}$
Pay ve paydadaki $a^2$ terimini sadeleştirirsek (yani $a^3 = a^2 \times a$ olduğunu düşünürsek):
$R_1 = \frac{6}{a}$
Soruda küpün tüm ayrıt uzunluklarının 3 katına çıkarıldığı belirtiliyor. Bu durumda yeni ayrıt uzunluğu $3a$ olur.
Yeni Yüzey Alanı ($S_2$): Yeni ayrıt uzunluğu $3a$ olduğundan, yeni yüzey alanı $S_2 = 6 \times (3a)^2$ olur.
Önce $(3a)^2$ ifadesini hesaplayalım: $(3a)^2 = 3^2 \times a^2 = 9a^2$.
Bu durumda $S_2 = 6 \times 9a^2 = 54a^2$ olur.
Yeni Hacim ($V_2$): Yeni ayrıt uzunluğu $3a$ olduğundan, yeni hacim $V_2 = (3a)^3$ olur.
Önce $(3a)^3$ ifadesini hesaplayalım: $(3a)^3 = 3^3 \times a^3 = 27a^3$.
Bu durumda $V_2 = 27a^3$ olur.
Yeni oran $R_2 = \frac{S_2}{V_2}$ şeklinde ifade edilir.
$R_2 = \frac{54a^2}{27a^3}$
Pay ve paydadaki $a^2$ terimini sadeleştirir ve sayıları bölersek ($54 \div 27 = 2$):
$R_2 = \frac{54}{27a} = \frac{2}{a}$
Başlangıçtaki oran $R_1 = \frac{6}{a}$ idi. Yeni oran ise $R_2 = \frac{2}{a}$ oldu.
Yeni oranın başlangıçtaki orana göre nasıl değiştiğini bulmak için $R_2$'yi $R_1$'e bölelim:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\frac{2}{a}}{\frac{6}{a}}$
Kesirleri sadeleştirirken, paydadaki kesri ters çevirip çarparız:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{2}{a} \times \frac{a}{6}$
Burada $a$ terimleri birbirini götürür:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{2}{6}$
Kesri sadeleştirirsek:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{3}$
Bu sonuç bize yeni oranın, başlangıçtaki oranın $\frac{1}{3}$'ü kadar olduğunu gösterir.
Cevap D seçeneğidir.
