İki nokta arası uzaklık nasıl hesaplanır Test 1

Koordinat düzleminde I(1,1) noktasına olan uzaklığı 10 birim olan ve x-ekseni üzerinde bulunan noktalardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) (9,0)
B) (10,0)
C) (11,0)
D) (12,0)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, koordinat düzleminde belirli bir noktaya olan uzaklığı verilen ve x-ekseni üzerinde bulunan bir noktayı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• Adım 1: X-ekseni Üzerindeki Noktayı Tanımlama

  X-ekseni üzerinde bulunan her noktanın y-koordinatı her zaman $0$ (sıfır) olur. Bu nedenle, aradığımız noktayı $P(x,0)$ şeklinde ifade edebiliriz. Burada $x$, bulmamız gereken bilinmeyen bir değerdir.

• Adım 2: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülünü Uygulama

  Soruda bize $I(1,1)$ noktası ile $P(x,0)$ noktası arasındaki uzaklığın $10$ birim olduğu verilmiş. İki nokta arasındaki uzaklık formülü $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ şeklindedir.

  Bu formülü kullanarak denklemi kuralım:

  $10 = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 1)^2}$

• Adım 3: Denklemi Çözme

  Şimdi denklemi çözerek $x$ değerini bulalım:

  • Her iki tarafın karesini alarak karekökten kurtulalım:

  $10^2 = (x - 1)^2 + (-1)^2$

  $100 = (x - 1)^2 + 1$

  • Şimdi $(x-1)^2$ ifadesini yalnız bırakalım:

  $(x - 1)^2 = 100 - 1$

  $(x - 1)^2 = 99$

  • Bu denklemi çözdüğümüzde, $x - 1$ için iki olası değer elde ederiz:

  $x - 1 = \sqrt{99}$ veya $x - 1 = -\sqrt{99}$

  • Buradan $x$ değerleri:

  $x = 1 + \sqrt{99}$ veya $x = 1 - \sqrt{99}$

  • $\sqrt{99}$ bir tam sayı değildir (çünkü $9^2 = 81$ ve $10^2 = 100$). Bu da $x$ değerlerinin tam sayı olmadığını gösterir. $\sqrt{99}$ yaklaşık olarak $9.95$ civarındadır.

  Yani, $x_1 \approx 1 + 9.95 = 10.95$ ve $x_2 \approx 1 - 9.95 = -8.95$ olur.

• Adım 4: Seçenekleri Değerlendirme

  Soruda verilen seçenekler tam sayı koordinatlara sahip noktalardır. Bulduğumuz $x$ değerleri tam sayı olmadığı için, bu durumda ya soruda bir yuvarlama beklentisi vardır ya da seçeneklerden birinin uzaklığı $10$'a en yakın olanıdır. Her bir seçeneğin $I(1,1)$ noktasına olan uzaklığını hesaplayarak kontrol edelim:

  • A) $(9,0)$ için uzaklık:

    $d = \sqrt{(9-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{8^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$

    ($\sqrt{65} \approx 8.06$)

  • B) $(10,0)$ için uzaklık:

    $d = \sqrt{(10-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{9^2 + (-1)^2} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}$

    ($\sqrt{82} \approx 9.06$)

  • C) $(11,0)$ için uzaklık:

    $d = \sqrt{(11-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{10^2 + (-1)^2} = \sqrt{100 + 1} = \sqrt{101}$

    ($\sqrt{101} \approx 10.05$)

  • D) $(12,0)$ için uzaklık:

    $d = \sqrt{(12-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{11^2 + (-1)^2} = \sqrt{121 + 1} = \sqrt{122}$

    ($\sqrt{122} \approx 11.05$)

• Adım 5: Doğru Seçeneği Belirleme

  Hesaplamalarımıza göre, $I(1,1)$ noktasına olan uzaklığı tam olarak $10$ birim olan x-ekseni üzerindeki noktalar $P(1+\sqrt{99}, 0)$ ve $P(1-\sqrt{99}, 0)$'dır. Bu noktaların koordinatları tam sayı değildir.

  Ancak, seçenekler arasında uzaklığı $10$ birime en yakın olan nokta $(11,0)$'dır, çünkü uzaklığı $\sqrt{101} \approx 10.05$ birimdir. Diğer seçeneklerin uzaklıkları $10$'dan daha uzaktır. Bu tür sorularda, eğer tam bir eşleşme yoksa, en yakın değeri veren seçenek doğru kabul edilir.

Cevap C seçeneğidir.