\( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \) kümesi veriliyor. Bu küme aşağıdaki işlemlerden hangisine göre kapalıdır?
A) Toplama işlemi
B) Çıkarma işlemi
C) Çarpma işlemi
D) Bölme işlemi
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün bir kümenin belirli bir işleme göre "kapalı" olması ne anlama geliyor, bunu öğreneceğiz ve verilen küme için hangi işlemin bu özelliği sağladığını bulacağız.
Bir Kümenin Bir İşleme Göre Kapalı Olması Ne Demektir?
- Bir $A$ kümesi ve bir işlem (örneğin toplama, çıkarma, çarpma, bölme) verildiğinde, eğer $A$ kümesinden seçtiğimiz herhangi iki elemanı bu işleme tabi tuttuğumuzda elde ettiğimiz sonucun yine $A$ kümesinin bir elemanı olması durumunda, $A$ kümesi bu işleme göre kapalıdır denir.
- Eğer kümeden seçilen herhangi iki elemanın işlemi sonucunda elde edilen tek bir sonuç bile kümenin dışında kalıyorsa, o zaman küme o işleme göre kapalı değildir.
Şimdi $ A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} $ kümesi için her bir seçeneği tek tek inceleyelim:
- A) Toplama işlemi:
- $A$ kümesinden iki eleman seçip toplayalım. Örneğin, $2 \in A$ ve $2 \in A$ elemanlarını alalım.
- $2 + 2 = 4$ sonucunu elde ederiz.
- $4$ sayısı $A$ kümesinin bir elemanı değildir ($4 \notin A$).
- Bu durumda, $A$ kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir.
- B) Çıkarma işlemi:
- $A$ kümesinden iki eleman seçip çıkarma işlemi yapalım. Örneğin, $2 \in A$ ve $(-2) \in A$ elemanlarını alalım.
- $2 - (-2) = 2 + 2 = 4$ sonucunu elde ederiz.
- $4$ sayısı $A$ kümesinin bir elemanı değildir ($4 \notin A$).
- Bu durumda, $A$ kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir.
- C) Çarpma işlemi:
- $A$ kümesindeki herhangi iki elemanı çarptığımızda sonucun yine $A$ kümesi içinde kalıp kalmadığını kontrol edelim.
- $0$ ile çarpılan her sayı $0$ sonucunu verir ve $0 \in A$.
- $1$ ile çarpılan her sayı kendisini verir ve bu sayılar $A$ kümesindedir.
- $-1$ ile çarpılan her sayı işaret değiştirir ve $A$ kümesi $0$'a göre simetrik olduğundan (yani bir sayı varsa ters işaretlisi de varsa), sonuç yine $A$ kümesindedir. Örneğin, $(-2) \times (-1) = 2 \in A$ veya $2 \times (-1) = -2 \in A$.
- Kümedeki en büyük ve en küçük elemanları kullanarak çarpımları kontrol edelim:
- $2 \times 1 = 2 \in A$
- $2 \times 0 = 0 \in A$
- $2 \times (-1) = -2 \in A$
- $(-2) \times 1 = -2 \in A$
- $(-2) \times 0 = 0 \in A$
- $(-2) \times (-1) = 2 \in A$
- Tüm olası çarpımların sonuçları $A$ kümesinin içinde kalmaktadır.
- Bu durumda, $A$ kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
- D) Bölme işlemi:
- $A$ kümesinden iki eleman seçip bölme işlemi yapalım. Örneğin, $1 \in A$ ve $2 \in A$ elemanlarını alalım.
- $1 \div 2 = 0.5$ sonucunu elde ederiz.
- $0.5$ sayısı $A$ kümesinin bir elemanı değildir ($0.5 \notin A$).
- Ayrıca, $A$ kümesinde $0$ elemanı bulunduğu için, $0$'a bölme işlemi tanımsızdır. Bu da kümenin bölme işlemine göre kapalı olmadığını gösterir.
- Bu durumda, $A$ kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $A$ kümesinin sadece çarpma işlemine göre kapalı olduğunu görmekteyiz.
Cevap C seçeneğidir.
