Dar açılı üçgende yükseklik Test 1

ABC dar açılı üçgeninde [AH] ⊥ [BC], |BH| = 3 cm ve |HC| = 7 cm'dir. |AB| = 5 cm olduğuna göre, |AC| kaç cm'dir?

A) 8
B) √65
C) √74
D) 9

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgende yükseklik ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi, yani Pisagor Teoremi'ni kullanarak bilinmeyen bir kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Soruyu ve Verilenleri Anlayalım.

  Bize ABC dar açılı bir üçgen verilmiş. [AH] doğru parçası, [BC] kenarına diktir. Bu, H noktasında $90^\circ$ açılı iki dik üçgen oluştuğu anlamına gelir: $\triangle ABH$ ve $\triangle ACH$.

  • $|BH| = 3$ cm
  • $|HC| = 7$ cm
  • $|AB| = 5$ cm

  Bizden $|AC|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.

• Adım 2: $\triangle ABH$ Üçgeninde Pisagor Teoremini Uygulayalım.

  Öncelikle, [AH] yüksekliğinin uzunluğunu bulmamız gerekiyor. Bunun için $\triangle ABH$ dik üçgenine odaklanalım. Bu üçgende $m(\angle AHB) = 90^\circ$ olduğu için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz:

  • Pisagor Teoremi: $(dik \ kenar)^2 + (dik \ kenar)^2 = (hipotenüs)^2$
  • $\triangle ABH$ için: $|BH|^2 + |AH|^2 = |AB|^2$
  • Verilen değerleri yerine yazalım: $3^2 + |AH|^2 = 5^2$
  • Hesaplayalım: $9 + |AH|^2 = 25$
  • $|AH|^2 = 25 - 9$
  • $|AH|^2 = 16$
  • Her iki tarafın karekökünü alırsak: $|AH| = \sqrt{16}$
  • Yani, $|AH| = 4$ cm olarak bulunur.
• Adım 3: $\triangle ACH$ Üçgeninde Pisagor Teoremini Uygulayalım.

  Şimdi elimizde [AH] yüksekliğinin uzunluğu var. İkinci dik üçgenimiz olan $\triangle ACH$'ye bakalım. Bu üçgende de $m(\angle AHC) = 90^\circ$ olduğu için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz:

  • $\triangle ACH$ için: $|HC|^2 + |AH|^2 = |AC|^2$
  • Verilen ve bulduğumuz değerleri yerine yazalım: $7^2 + 4^2 = |AC|^2$
  • Hesaplayalım: $49 + 16 = |AC|^2$
  • $65 = |AC|^2$
  • Her iki tarafın karekökünü alırsak: $|AC| = \sqrt{65}$ cm olarak bulunur.
• Adım 4: Sonucu Kontrol Edelim.

  Bulduğumuz $|AC|$ değeri $\sqrt{65}$ cm'dir. Bu değer seçeneklerde mevcuttur.

Cevap B seçeneğidir.