Bir eşkenar üçgenin çevrel çember merkezi aynı zamanda ağırlık merkezidir. Bu merkezin köşelere olan uzaklığı 6 cm ise, üçgenin bir kenar uzunluğu kaç cm'dir?
A) 6√3Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek eşkenar üçgenlerin önemli özelliklerini pekiştirelim.
Bize bir eşkenar üçgen verilmiş. Bu üçgenin çevrel çember merkezi aynı zamanda ağırlık merkeziymiş. Bu merkezin köşelere olan uzaklığı $6$ cm olarak verilmiş. Bizden üçgenin bir kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor.
Bir eşkenar üçgende, çevrel çember merkezi, iç teğet çember merkezi, ağırlık merkezi ve diklik merkezi (ortomerkez) aynı noktadır. Bu nokta, üçgenin tüm simetri eksenlerinin kesişim noktasıdır.
Çevrel çember merkezi, üçgenin köşelerine eşit uzaklıktadır. Bu uzaklık, çevrel çemberin yarıçapıdır ve genellikle büyük $R$ harfi ile gösterilir. Soruda bu uzaklık $6$ cm olarak verildiğine göre, çevrel çemberin yarıçapı $R = 6$ cm'dir.
Bir eşkenar üçgende çevrel çemberin yarıçapı ($R$) ile üçgenin bir kenar uzunluğu ($a$) arasında belirli bir ilişki vardır. Bu ilişki şu formülle ifade edilir:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ veya $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Bu formülü kullanarak kenar uzunluğunu bulabiliriz.
Verilen $R = 6$ cm değerini formülde yerine koyalım:
$6 = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Şimdi $a$ değerini bulmak için denklemi adım adım çözelim:
Denklemin her iki tarafını $3$ ile çarparız: $6 \times 3 = a\sqrt{3}$, yani $18 = a\sqrt{3}$.
$a$'yı yalnız bırakmak için her iki tarafı $\sqrt{3}$'e böleriz: $a = \frac{18}{\sqrt{3}}$.
Paydayı rasyonel yapmak için kesri $\sqrt{3}$ ile çarparız (hem payı hem paydayı): $a = \frac{18 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3}$.
Son olarak sadeleştirme yaparız: $a = 6\sqrt{3}$ cm.
Eşkenar üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı (aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır) köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Merkezin köşeye uzaklığı $R$ ise, bu uzaklık yüksekliğin $\frac{2}{3}$'üne eşittir. Yani $R = \frac{2}{3}h$.
$R = 6$ cm olduğuna göre, $6 = \frac{2}{3}h$ denklemini kurarız.
Buradan yüksekliği ($h$) bulalım: $h = 6 \times \frac{3}{2} = 9$ cm.
Eşkenar üçgenin yüksekliği ($h$) ile kenar uzunluğu ($a$) arasındaki ilişki ise $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ şeklindedir.
Bulduğumuz $h = 9$ cm değerini yerine koyalım: $9 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Denklemi $a$ için çözelim: $18 = a\sqrt{3}$.
$a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ cm.
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık, bu da çözümümüzün doğruluğunu teyit eder.
Cevap A seçeneğidir.
