ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm ve A açısının ölçüsü 90° dir. B noktasından AC kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
A) 4.81. Verilen Bilgileri Anlayalım:
ABC üçgeninde A açısının $90^\circ$ olması, bu üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösterir. Dik kenarların uzunlukları $ |AB| = 8 $ cm ve $ |AC| = 6 $ cm'dir.
Soru, "B noktasından AC kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu"nu sormaktadır. Dik üçgenlerde, bir köşeden diğer dik kenara çizilen yükseklik, o dik kenarın kendisidir. Yani B noktasından AC kenarına çizilen yükseklik, AB kenarının uzunluğu olan $8$ cm'dir. Ancak, verilen seçenekler arasında $8$ cm bulunmamaktadır (A) $4.8$, B) $6$, C) $4$, D) $3.6$). Bu durum, sorunun aslında dik açının olduğu A köşesinden hipotenüse (BC kenarına) çizilen yüksekliği sormak istediğini düşündürmektedir. Geometri sorularında bu tip bir ifade hatası olabileceği ve genellikle dik açının hipotenüse inen yüksekliğinin kastedildiği varsayımıyla çözüme devam edelim.
2. Hipotenüs Uzunluğunu Bulalım:
Dik üçgenlerde Pisagor Teoremi'ne göre, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:
$|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2$
$|BC|^2 = 8^2 + 6^2$
$|BC|^2 = 64 + 36$
$|BC|^2 = 100$
$|BC| = \sqrt{100}$
$|BC| = 10$ cm
3. Üçgenin Alanını Hesaplayalım:
Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı ile bulunur:
Alan$(ABC) = rac{1}{2} \times |AB| \times |AC|$
Alan$(ABC) = rac{1}{2} \times 8 \times 6$
Alan$(ABC) = rac{1}{2} \times 48$
Alan$(ABC) = 24$ cm$^2$
4. Yüksekliği Bulmak İçin Alan Formülünü Tekrar Kullanalım:
Bir üçgenin alanı, herhangi bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına da eşittir. Biz A köşesinden hipotenüs BC'ye inen yüksekliği ($h_a$) arıyoruz. Bu durumda:
Alan$(ABC) = rac{1}{2} \times |BC| \times h_a$
Bulduğumuz alanı ($24$ cm$^2$) ve hipotenüs uzunluğunu ($10$ cm) yerine yazalım:
$24 = rac{1}{2} \times 10 \times h_a$
$24 = 5 \times h_a$
$h_a = rac{24}{5}$
$h_a = 4.8$ cm
Cevap A seçeneğidir.
