Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek, fonksiyonun tanım kümesini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.
Adım 1: Tanım Kümesi Nedir?
- Tanım kümesi, bir fonksiyonun girdi olarak alabileceği tüm $x$ değerlerinin kümesidir. Başka bir deyişle, fonksiyonda yerine koyduğumuzda tanımsızlık yaratmayan tüm $x$ değerleridir.
Adım 2: Karekök Fonksiyonunun Kısıtlamaları
- Karekök fonksiyonu, yani $\sqrt{...}$, içerisine negatif bir sayı alamaz. Çünkü reel sayılarda negatif sayıların karekökü tanımlı değildir. Bu nedenle, karekök içindeki ifadenin daima 0'a eşit veya 0'dan büyük olması gerekir.
Adım 3: Eşitsizliği Kurma
- Fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{9-x^2}$ olduğuna göre, karekök içindeki ifade olan $9-x^2$'nin 0'a eşit veya 0'dan büyük olması gerekir. Bu durumu bir eşitsizlik ile ifade edebiliriz: $9 - x^2 \ge 0$.
Adım 4: Eşitsizliği Çözme
- Eşitsizliği çözmek için öncelikle $x^2$'yi sağ tarafa atalım: $9 \ge x^2$.
- Bu eşitsizliği şu şekilde de yazabiliriz: $x^2 \le 9$.
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: $|x| \le 3$.
- Mutlak değerin anlamı gereği, bu eşitsizlik $-3 \le x \le 3$ anlamına gelir.
Adım 5: Tanım Kümesini Belirleme
- Bulduğumuz aralık, $x$'in alabileceği değerleri gösterir. Yani, $x$, -3'e eşit veya -3'ten büyük ve 3'e eşit veya 3'ten küçük olmalıdır. Bu aralığı kapalı aralık şeklinde ifade edersek: $[-3, 3]$.
Sonuç
Dolayısıyla, $f(x) = \sqrt{9-x^2}$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi $[-3, 3]$ aralığıdır.
Cevap A seçeneğidir.
