Bu soruyu çözmek için, öncelikle verilen $R$ ve $S$ kümelerinin her birini ayrı ayrı anlamamız ve belirlememiz gerekiyor. Ardından, bu iki kümenin kesişimini ($R \cap S$) bulacağız.
- Adım 1: $R$ kümesini belirleyelim.
$R = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \}$ kümesi, $x^2 - 5x + 6 < 0$ eşitsizliğini sağlayan tüm gerçek sayıları içerir. Bu eşitsizliği çözmek için:
- Öncelikle $x^2 - 5x + 6 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz: $(x-2)(x-3) = 0$.
- Denklemin kökleri $x_1 = 2$ ve $x_2 = 3$'tür.
- Şimdi eşitsizliğin işaretini inceleyelim. $x^2 - 5x + 6$ ifadesi, parabol şeklinde bir fonksiyondur ve kollar yukarı doğrudur (çünkü $x^2$'nin katsayısı $1$, yani pozitiftir). Bu tür bir parabol, kökleri arasında negatif değerler alır.
- Dolayısıyla, $x^2 - 5x + 6 < 0$ eşitsizliği, $x$ değerleri $2$ ile $3$ arasında olduğunda sağlanır. Yani $2 < x < 3$.
- Bu durumda, $R$ kümesi açık aralık olarak $R = (2, 3)$ şeklinde ifade edilir.
- Adım 2: $S$ kümesini belirleyelim.
$S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 1 \}$ kümesi, $1$'den büyük tüm gerçek sayıları içerir.
- Bu küme, açık aralık olarak $S = (1, \infty)$ şeklinde ifade edilir.
- Adım 3: $R \cap S$ kümesini bulalım.
$R \cap S$ kümesi, hem $R$ kümesinde hem de $S$ kümesinde bulunan elemanlardan oluşur. Yani, her iki koşulu da aynı anda sağlayan $x$ değerlerini arıyoruz:
- $x \in R \implies 2 < x < 3$
- $x \in S \implies x > 1$
- Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, $x$'in $2$'den büyük ve $3$'ten küçük olması gerektiğini görüyoruz. Çünkü eğer bir sayı $2$'den büyükse, otomatik olarak $1$'den de büyük olacaktır.
- Bu durumda, her iki koşulu da sağlayan $x$ değerleri $2 < x < 3$ aralığındadır.
- Yani, $R \cap S = (2, 3)$ olur.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz $(2, 3)$ aralığı B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
