Bir ifadenin polinom olup olmadığı nasıl anlaşılır Test 1

$P(x) = \frac{2x^3 - 5x}{x}$ ifadesi sadeleştirildiğinde elde edilen ifade için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Polinomdur çünkü tüm terimler sadeleşmiştir
B) Polinom değildir çünkü başlangıçta değişken paydada bulunuyordu
C) Polinomdur çünkü sonuç $2x^2 - 5$ olur
D) Polinom değildir çünkü katsayılar tam sayı değildir

Bu soruda, verilen bir cebirsel ifadenin sadeleştirildikten sonra bir polinom olup olmadığını değerlendirmemiz isteniyor. Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için hem tanımına hem de başlangıçtaki haline dikkat etmeliyiz.

• Adım 1: Verilen ifadeyi sadeleştirelim.

  $P(x) = \frac{2x^3 - 5x}{x}$ ifadesini sadeleştirmek için paydaki her terimi paydadaki $x$ ile bölebiliriz.

  $P(x) = \frac{2x^3}{x} - \frac{5x}{x}$

  Şimdi her terimi ayrı ayrı sadeleştirelim:

  $\frac{2x^3}{x} = 2x^{3-1} = 2x^2$

  $\frac{5x}{x} = 5$

  Böylece, sadeleştirilmiş ifade $2x^2 - 5$ olur.

• Adım 2: Polinom tanımını hatırlayalım.

  Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin (burada $x$) üslerinin doğal sayı (0, 1, 2, ...) olması ve değişkenin paydada bulunmaması gerekir. Ayrıca, polinomlar tüm reel sayılar için tanımlıdır.

• Adım 3: Sadeleştirilmiş ifadeyi polinom tanımına göre inceleyelim.

  Sadeleştirilmiş ifade olan $2x^2 - 5$ ifadesine baktığımızda, $x$'in üssü $2$ (doğal sayı) ve sabit terim olan $-5$ de $x^0$ olarak düşünülebilir (üssü $0$ doğal sayı). Bu haliyle $2x^2 - 5$ bir polinom gibi görünmektedir ve tüm reel sayılar için tanımlıdır.

• Adım 4: Başlangıçtaki ifadenin tanım kümesini (domain) göz önünde bulunduralım.

  Ancak, soruda bize verilen başlangıçtaki ifade $P(x) = \frac{2x^3 - 5x}{x}$ şeklindedir. Bu ifadede $x$ paydada bulunmaktadır. Paydanın sıfır olmaması gerektiği için, bu ifade $x=0$ için tanımlı değildir. Yani, başlangıçtaki $P(x)$ ifadesinin tanım kümesi tüm reel sayılar kümesi değil, $x \neq 0$ koşulunu sağlayan reel sayılar kümesidir.

• Adım 5: Polinom olma koşulu ile karşılaştıralım.

  Bir fonksiyonun polinom olabilmesi için, tanım kümesinin tüm reel sayılar olması gerekir. Başlangıçtaki $P(x)$ ifadesi $x=0$ noktasında tanımlı olmadığı için, bir polinom fonksiyonu değildir. Sadeleştirilmiş hali bir polinom gibi görünse de, başlangıçtaki kısıtlama (değişkenin paydada olması) ifadenin polinom olmasını engeller.

• Adım 6: Seçenekleri değerlendirelim.

  A) Polinomdur çünkü tüm terimler sadeleşmiştir: Bu ifade yanlıştır. Sadeleşmiş hali bir polinom gibi görünse de, başlangıçtaki ifadenin tanım kümesi kısıtlı olduğu için orijinal ifade bir polinom değildir.

• B) Polinom değildir çünkü başlangıçta değişken paydada bulunuyordu: Bu ifade doğrudur. Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin paydada bulunmaması gerekir. Başlangıçtaki ifadede $x$ paydada olduğu için $x=0$ noktasında tanımsızdır ve bu nedenle polinom değildir.

• C) Polinomdur çünkü sonuç $2x^2 - 5$ olur: Bu ifade yanlıştır. Sonuç olan $2x^2 - 5$ bir polinomdur, ancak bu, başlangıçtaki ifadenin de polinom olduğu anlamına gelmez. Polinom tanımı, ifadenin tüm reel sayılar için tanımlı olmasını gerektirir.

• D) Polinom değildir çünkü katsayılar tam sayı değildir: Bu ifade yanlıştır. İfadenin katsayıları ($2$ ve $-5$) tam sayıdır. Ayrıca, bir polinomun katsayılarının tam sayı olması zorunlu değildir, reel sayı olması yeterlidir.

Cevap B seçeneğidir.