Polinom tanımına göre aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) $x^2 + 3x + 1$ bir polinomdur
B) $x^{1/3} + 2$ bir polinom değildir
C) $\frac{x^2 + 1}{x}$ sadeleştirilince polinom olur
D) $4x^{-2} + x$ bir polinom değildir
Polinomlar, matematikte çok önemli bir yer tutan cebirsel ifadelerdir. Bir ifadenin polinom olabilmesi için temel kural, değişkenlerin (genellikle $x$) kuvvetlerinin sadece doğal sayılar ($0, 1, 2, 3, \dots$) olmasıdır. Ayrıca, değişkenler paydada veya kök içinde bulunamaz.
- A) $x^2 + 3x + 1$ bir polinomdur
- Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $2$, $1$ (yani $x^1$) ve sabit terim olan $1$'in yanındaki $x^0$'ın kuvveti $0$'dır.
- $2$, $1$ ve $0$ doğal sayılardır.
- Bu nedenle, $x^2 + 3x + 1$ bir polinomdur. A seçeneğindeki ifade doğrudur.
- B) $x^{1/3} + 2$ bir polinom değildir
- Bu ifadede $x$'in kuvveti $1/3$'tür.
- $1/3$ bir doğal sayı değildir (kesirli bir sayıdır).
- Bu nedenle, $x^{1/3} + 2$ bir polinom değildir. B seçeneğindeki ifade doğrudur.
- C) $\frac{x^2 + 1}{x}$ sadeleştirilince polinom olur
- Öncelikle bu ifadeyi sadeleştirelim: $\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = x + x^{-1}$.
- Sadeleşmiş ifadede $x$'in kuvvetlerinden biri $-1$'dir.
- $-1$ bir doğal sayı değildir (negatif bir tam sayıdır).
- Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin kuvvetlerinin doğal sayı olması gerektiğinden, $x + x^{-1}$ bir polinom değildir.
- Bu nedenle, C seçeneğindeki "sadeleştirilince polinom olur" ifadesi yanlıştır.
- D) $4x^{-2} + x$ bir polinom değildir
- Bu ifadede $x$'in kuvvetlerinden biri $-2$'dir.
- $-2$ bir doğal sayı değildir (negatif bir tam sayıdır).
- Bu nedenle, $4x^{-2} + x$ bir polinom değildir. D seçeneğindeki ifade doğrudur.
Soru, hangi ifadenin yanlış olduğunu sorduğu için, cevabımız C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
