x in kuvveti kesirli (rasyonel) olursa polinom olur mu Test 1

Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinom değildir?

A) $x^2 + 3x - 5$
B) $4x^{1/2} + 2x - 1$
C) $7x^3 - 2x^2 + x$
D) $-5x^4 + 8$

Öğrencilerim, bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için temel kuralı hatırlayalım:

• Bir polinom, değişkenlerin üslerinin sadece negatif olmayan tam sayılar (yani $0, 1, 2, 3, \dots$) olduğu bir cebirsel ifadedir.
• Başka bir deyişle, değişkenler kök içinde ($\sqrt{x}$ gibi) veya paydada ($1/x$ gibi) bulunamaz. Çünkü bunlar sırasıyla kesirli ($x^{1/2}$) veya negatif ($x^{-1}$) üslere karşılık gelir.

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

A) $x^2 + 3x - 5$

Buradaki değişken $x$'in üsleri $2$, $1$ (çünkü $3x = 3x^1$) ve sabit terim olan $-5$'in yanında $x^0$ olduğunu düşünebiliriz. Tüm bu üsler ($2, 1, 0$) negatif olmayan tam sayılardır. Bu ifade bir polinomdur.

B) $4x^{1/2} + 2x - 1$

Buradaki değişken $x$'in üsleri $1/2$, $1$ ve $0$ şeklindedir. Ancak, $1/2$ bir kesirli sayıdır ve negatif olmayan bir tam sayı değildir. Hatırlayın, $x^{1/2}$ aynı zamanda $\sqrt{x}$ demektir. Bu kurala uymadığı için bu ifade bir polinom değildir.

C) $7x^3 - 2x^2 + x$

Buradaki değişken $x$'in üsleri $3$, $2$ ve $1$ şeklindedir. Tüm bu üsler ($3, 2, 1$) negatif olmayan tam sayılardır. Bu ifade bir polinomdur.

D) $-5x^4 + 8$

Buradaki değişken $x$'in üsleri $4$ ve $0$ şeklindedir. Tüm bu üsler ($4, 0$) negatif olmayan tam sayılardır. Bu ifade bir polinomdur.

İncelemelerimiz sonucunda, B seçeneğindeki ifadenin değişkeninin üssü kesirli olduğu için polinom tanımına uymadığını gördük.

Cevap B seçeneğidir.