Grafiği verilen parabolün denklemini yazma Test 1

Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar (2,0) ve (6,0) olarak verilmiştir. Bu parabolün minimum değeri -8 olduğuna göre denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = 2(x-4)² - 8
B) y = 2(x-4)² + 8
C) y = -2(x-4)² - 8
D) y = -2(x-4)² + 8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir parabolün x eksenini kestiği noktaları ve minimum değerini kullanarak parabolün denklemini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Parabolün x eksenini kestiği noktaları belirleyelim:

  Soruda verilen bilgilere göre, parabol x eksenini $(2,0)$ ve $(6,0)$ noktalarında kesmektedir. Bu noktalar, parabolün kökleridir. Yani $x_1 = 2$ ve $x_2 = 6$ diyebiliriz.

• 2. Parabolün tepe noktasının x koordinatını ($x_v$) bulalım:

  Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar biliniyorsa, tepe noktasının x koordinatı bu iki noktanın tam ortasındadır. Yani, $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}$ formülünü kullanırız.

  $x_v = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

  Demek ki parabolün tepe noktasının x koordinatı $4$'tür.

• 3. Parabolün tepe noktasının y koordinatını ($y_v$) belirleyelim:

  Soruda parabolün minimum değerinin $-8$ olduğu belirtilmiştir. Bir parabolün minimum (veya maksimum) değeri, onun tepe noktasının y koordinatıdır. Bu durumda, $y_v = -8$.

  Artık tepe noktamızın koordinatlarını biliyoruz: $(x_v, y_v) = (4, -8)$.

• 4. Parabolün genel denklemini yazalım ve 'a' katsayısını bulalım:

  Bir parabolün denklemi, kökleri bilindiğinde $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ şeklinde yazılabilir. Kökleri yerine yazalım:

  $y = a(x - 2)(x - 6)$

  Şimdi 'a' katsayısını bulmak için, parabolün üzerindeki bir noktayı (tepe noktasını kullanmak en uygunudur) bu denkleme yerleştirelim. Tepe noktamız $(4, -8)$ idi. Yani $x=4$ iken $y=-8$ olmalıdır:

  $-8 = a(4 - 2)(4 - 6)$

  $-8 = a(2)(-2)$

  $-8 = -4a$

  $a = \frac{-8}{-4}$

  $a = 2$

  Burada $a=2$ pozitif bir değer olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur ve bir minimum değeri vardır, bu da sorudaki bilgiyle uyumludur.

• 5. Parabolün denklemini tepe noktası formunda yazalım:

  Bir parabolün tepe noktası $(x_v, y_v)$ ve 'a' katsayısı bilindiğinde denklemi $y = a(x - x_v)^2 + y_v$ şeklinde yazılır. Bulduğumuz değerleri yerine koyalım:

  $a = 2$, $x_v = 4$, $y_v = -8$

  $y = 2(x - 4)^2 + (-8)$

  $y = 2(x - 4)^2 - 8$

Bu denklem seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.