Grafiği verilen parabolün denklemini yazma Test 1

Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar (-2,0) ve (4,0) olarak verilmiştir. Bu parabolün maksimum değeri 9 olduğuna göre denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = -(x-1)² + 9
B) y = -(x+1)² + 9
C) y = -(x-1)² - 9
D) y = (x-1)² + 9

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir parabolün denklemini bulmak için bize verilen bilgileri adım adım nasıl kullanacağımızı öğrenelim. Bu soruda parabolün x eksenini kestiği noktalar ve maksimum değeri verilmiş. Bu bilgilerle parabolün denklemini kolayca oluşturabiliriz.

• Adım 1: Simetri Ekseni ve Tepe Noktasının x-koordinatını Bulma

Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar (kökler) biliniyorsa, tepe noktasının x-koordinatı (simetri ekseni) bu köklerin tam ortasında yer alır. Verilen kökler $x_1 = -2$ ve $x_2 = 4$'tür.

Tepe noktasının x-koordinatı ($x_v$) şu formülle bulunur:

$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Değerleri yerine yazarsak:

$x_v = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Demek ki tepe noktamızın x-koordinatı $1$'dir.

• Adım 2: Tepe Noktasının Koordinatlarını Belirleme

Soruda parabolün maksimum değerinin $9$ olduğu belirtilmiştir. Bir parabolün maksimum veya minimum değeri, onun tepe noktasının y-koordinatıdır. Parabolün maksimum değeri olduğuna göre, bu parabol aşağı doğru açılan bir paraboldür ve tepe noktasının y-koordinatı ($y_v$) $9$'dur.

O halde tepe noktamızın koordinatları $(x_v, y_v) = (1, 9)$'dur.

• Adım 3: Parabol Denklemini Tepe Noktası Formunda Yazma

Bir parabolün tepe noktası $(x_v, y_v)$ bilindiğinde, denklemi genel olarak şu şekilde yazılır:

$y = a(x - x_v)^2 + y_v$

Bulduğumuz tepe noktası koordinatlarını bu denklemde yerine yazalım:

$y = a(x - 1)^2 + 9$

Şimdi tek yapmamız gereken 'a' katsayısını bulmak.

• Adım 4: 'a' Değerini Bulmak İçin Köklerden Birini Kullanma

Parabol, x eksenini $(-2,0)$ ve $(4,0)$ noktalarında kesmektedir. Bu noktalardan herhangi biri parabolün denklemini sağlamalıdır. Biz $(-2,0)$ noktasını kullanalım. Yani $x = -2$ iken $y = 0$ olmalıdır.

Denklemde bu değerleri yerine yazalım:

$0 = a(-2 - 1)^2 + 9$

$0 = a(-3)^2 + 9$

$0 = a(9) + 9$

$0 = 9a + 9$

Şimdi $a$'yı yalnız bırakalım:

$9a = -9$

$a = -1$

'a' katsayısının negatif çıkması, parabolün aşağı doğru açıldığını ve bir maksimum değere sahip olduğunu doğrular, bu da problemdeki bilgiyle uyumludur.

• Adım 5: Parabolün Son Denklemini Yazma

Bulduğumuz $a = -1$ değerini tepe noktası formundaki denklemimize yerleştirelim:

$y = -1(x - 1)^2 + 9$

Bu da şu anlama gelir:

$y = -(x - 1)^2 + 9$

• Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştırma

Elde ettiğimiz denklem $y = -(x - 1)^2 + 9$'dur. Seçeneklere baktığımızda, bu denklem A seçeneği ile birebir aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.