Bir matematik öğretmeni tahtaya "¬(p ∧ ¬p)" yazıyor. Bu önermeyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Çelişkidir
B) Totolojidir
C) Belirsizdir
D) p'nin değerine bağlıdır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bize verilen mantık önermesinin türünü belirlememiz isteniyor. Önerme "$\neg(p \land \neg p)$" şeklinde verilmiş. Gelin, bu önermeyi adım adım inceleyelim:
- Öncelikle, verilen önermeyi daha iyi anlamak için iç parantezden dışarıya doğru ilerleyelim. İç parantezdeki ifade "$p \land \neg p$" şeklindedir.
- "$p \land \neg p$" ifadesi, "$p$ doğru VE $p$ yanlış" anlamına gelir. Mantıkta, bir önermenin hem doğru hem de yanlış olması mümkün değildir.
- Bu durumu bir doğruluk tablosu ile de görebiliriz:
- Eğer $p$ doğru ise, $\neg p$ yanlış olur. Bu durumda $p \land \neg p$ (Doğru $\land$ Yanlış) = Yanlış olur.
- Eğer $p$ yanlış ise, $\neg p$ doğru olur. Bu durumda $p \land \neg p$ (Yanlış $\land$ Doğru) = Yanlış olur.
- Görüldüğü gibi, "$p \land \neg p$" önermesi, $p$'nin doğruluk değerinden bağımsız olarak her zaman yanlıştır. Mantıkta, her zaman yanlış olan önermelere çelişki (contradiction) denir.
- Şimdi, önermemizin tamamına bakalım: "$\neg(p \land \neg p)$". Biz "$p \land \neg p$" ifadesinin bir çelişki olduğunu, yani her zaman yanlış olduğunu bulduk.
- O halde, önermemiz "$\neg(\text{Yanlış})$" şeklini alır.
- Bir önermenin değili (olumsuzu), o önermenin doğruluk değerini tersine çevirir. Yani, "Yanlış" bir ifadenin değili "Doğru" olur.
- Dolayısıyla, "$\neg(p \land \neg p)$" önermesi her zaman doğrudur.
- Mantıkta, bileşenlerinin doğruluk değerlerinden bağımsız olarak her zaman doğru olan önermelere totoloji (tautology) denir.
- Bu durumda, verilen önerme bir totolojidir.
Cevap B seçeneğidir.
