Logaritma çıkarma kuralı (Bölmeye dönüştürme) Test 1

8. log₂(x² - 4) - log₂(x - 2) = 3 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 10

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, logaritma özelliklerini kullanarak bir denklemi çözmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu denklemi nasıl çözeceğimizi görelim.

• 1. Adım: Logaritmanın Tanım Kümesini Belirleyelim

  Logaritmalı ifadelerin tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir. Bu kuralı denklemimizdeki her iki logaritma için de uygulamalıyız:

  • İlk ifade için: $x^2 - 4 > 0$. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak $(x - 2)(x + 2) > 0$ olur. Bu eşitsizliğin çözümü $x < -2$ veya $x > 2$'dir.
  • İkinci ifade için: $x - 2 > 0$. Bu eşitsizliğin çözümü $x > 2$'dir.

  Her iki koşulu da sağlayan $x$ değerleri, denklemin tanım kümesini oluşturur. Bu da $x > 2$ demektir. Bulacağımız $x$ değeri bu aralıkta olmalıdır.

• 2. Adım: Logaritma Özelliklerini Kullanarak Denklemi Sadeleştirelim

  Logaritmanın önemli özelliklerinden biri şudur: $log_b(M) - log_b(N) = log_b(\frac{M}{N})$. Bu özelliği denklemimize uygulayalım:

  $log_2(x^2 - 4) - log_2(x - 2) = 3$

  $log_2\left(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\right) = 3$

• 3. Adım: Kesirli İfadeyi Sadeleştirelim

  Pay kısmındaki $x^2 - 4$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğidir. Yani $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ kuralına göre $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ şeklinde yazılabilir. Bu ifadeyi denklemde yerine koyalım:

  $log_2\left(\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}\right) = 3$

  Tanım kümemizden $x > 2$ olduğunu biliyoruz, bu da $x - 2 \neq 0$ demektir. Dolayısıyla pay ve paydadaki $(x - 2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

  $log_2(x + 2) = 3$

• 4. Adım: Logaritmik İfadeyi Üstel İfadeye Çevirelim

  Logaritmanın tanımına göre, eğer $log_b(A) = C$ ise, bu $b^C = A$ anlamına gelir. Bu kuralı son denklemimize uygulayalım:

  $log_2(x + 2) = 3 \implies 2^3 = x + 2$

• 5. Adım: Denklemi Çözerek $x$ Değerini Bulalım

  $2^3$ ifadesinin değeri $8$'dir. Denklemi tamamlayalım:

  $8 = x + 2$

  $x = 8 - 2$

  $x = 6$

• 6. Adım: Bulduğumuz $x$ Değerini Tanım Kümesiyle Karşılaştıralım

  İlk adımda tanım kümesini $x > 2$ olarak belirlemiştik. Bulduğumuz $x = 6$ değeri, bu koşulu sağlamaktadır ($6 > 2$). Bu nedenle çözümümüz geçerlidir.

Denklemi sağlayan $x$ değeri $6$'dır.

Cevap B seçeneğidir.