9. ln(2e) - ln2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için logaritma özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Özellikle çarpım durumundaki logaritmaların nasıl açıldığını ve doğal logaritmanın (ln) temel değerini bilmek işimizi çok kolaylaştıracak.
Logaritmanın en temel özelliklerinden biri, bir çarpımın logaritmasını, çarpanların logaritmalarının toplamı şeklinde yazabilmemizdir. Yani, $\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b$ kuralını kullanacağız.
Sorudaki ilk terim olan $\ln(2e)$ ifadesini bu kurala göre açalım:
$\ln(2e) = \ln 2 + \ln e$
Şimdi bulduğumuz bu açılımı, sorudaki orijinal ifadeye yerleştirelim:
Orijinal ifade: $\ln(2e) - \ln 2$
Yerine koyarsak: $(\ln 2 + \ln e) - \ln 2$
Parantezleri açtığımızda ve benzer terimleri bir araya getirdiğimizde ne olduğunu görelim:
$\ln 2 + \ln e - \ln 2$
Burada bir $\ln 2$ terimi pozitif, diğeri ise negatiftir. Bu iki terim birbirini götürecektir:
$\cancel{\ln 2} + \ln e - \cancel{\ln 2} = \ln e$
Doğal logaritma (ln), tabanı $e$ olan logaritmadır. Yani $\ln x$ aslında $\log_e x$ demektir. Bir logaritmanın tabanı ile içindeki sayı aynı olduğunda, o logaritmanın değeri $1$'dir. Bu yüzden:
$\ln e = \log_e e = 1$
Yukarıdaki adımlardan sonra elimizde sadece $\ln e$ kalmıştı. Şimdi onun değerini yerine yazalım:
$\ln e = 1$
Gördüğünüz gibi, logaritma özelliklerini doğru bir şekilde uyguladığımızda sonuca kolayca ulaştık.
Cevap B seçeneğidir.
