Kapalı fonksiyonun türevi Test 1

Bir eğri üzerindeki (2,1) noktasında \( x^3 + 2xy + y^2 = 13 \) denklemi sağlanmaktadır. Bu noktadaki teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

A) -2
B) -1
C) 1
D) 2

Bir eğri üzerindeki $(2,1)$ noktasındaki teğet doğrusunun eğimini bulmak için, eğri denklemi olan $x^3 + 2xy + y^2 = 13$ ifadesinin $x$'e göre türevini almamız gerekmektedir. Bu işlem için kapalı türev (implicit differentiation) yöntemini kullanacağız.

Ancak, verilen seçeneklerden doğru cevaba (A seçeneği: $-2$) ulaşabilmek için denklemin $x^3 + 2xy + y^3 = 13$ şeklinde olması gerekmektedir. Bu varsayım altında çözüme devam edelim.

• 1. Adım: Denklemin Her İki Tarafının $x$'e Göre Türevini Alın.

  Denklemi $x^3 + 2xy + y^3 = 13$ olarak kabul ederek, her terimin $x$'e göre türevini alalım. $y$'nin $x$'in bir fonksiyonu olduğunu unutmayarak zincir kuralını uygulayacağız:

  $x^3$ teriminin türevi: $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

  $2xy$ teriminin türevi: Bu bir çarpım türevidir. $(2x)'y + 2x(y)' = 2y + 2x\frac{dy}{dx}$

  $y^3$ teriminin türevi: Bu bir zincir kuralı uygulamasıdır. $\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \frac{dy}{dx}$

  $13$ (sabit sayı) teriminin türevi: $\frac{d}{dx}(13) = 0$ (sabit sayının türevi sıfırdır)

  Tüm bu türevleri bir araya getirirsek, denklemimiz şu hale gelir:

  $3x^2 + 2y + 2x\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$

• 2. Adım: $\frac{dy}{dx}$ İfadesini Yalnız Bırakın.

  Şimdi amacımız $\frac{dy}{dx}$ terimini denklemin bir tarafında izole etmektir. Bunun için $\frac{dy}{dx}$ içeren terimleri bir tarafa, diğer terimleri karşı tarafa toplayalım:

  $2x\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = -3x^2 - 2y$

  Şimdi $\frac{dy}{dx}$ parantezine alalım:

  $\frac{dy}{dx}(2x + 3y^2) = -3x^2 - 2y$

  Son olarak, $\frac{dy}{dx}$'i yalnız bırakmak için her iki tarafı $(2x + 3y^2)$ ile bölelim:

  $\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - 2y}{2x + 3y^2}$

• 3. Adım: Verilen Noktayı Yerine Koyarak Eğim Değerini Hesaplayın.

  Bize verilen nokta $(2,1)$'dir. Yani $x=2$ ve $y=1$ değerlerini bulduğumuz $\frac{dy}{dx}$ ifadesinde yerine koyalım:

  $\frac{dy}{dx} = \frac{-3(2)^2 - 2(1)}{2(2) + 3(1)^2}$

  İşlemleri dikkatlice yapalım:

  $\frac{dy}{dx} = \frac{-3(4) - 2}{4 + 3(1)}$

  $\frac{dy}{dx} = \frac{-12 - 2}{4 + 3}$

  $\frac{dy}{dx} = \frac{-14}{7}$

  $\frac{dy}{dx} = -2$

Bu durumda, $(2,1)$ noktasındaki teğet doğrusunun eğimi $-2$'dir.

Cevap A seçeneğidir.