Kapalı fonksiyonun türevi Test 1

\( x^3 + y^3 = 6xy \) denklemi ile verilen eğrinin (3,3) noktasındaki teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

A) -1
B) 0
C) 1
D) 2

Bir eğrinin belirli bir noktadaki teğet doğrusunun eğimini bulmak için, o eğrinin denkleminin türevini (yani $\frac{dy}{dx}$'i) alıp, verilen noktadaki $x$ ve $y$ değerlerini türevde yerine koymamız gerekir. Bu problemde, denklem $x$ ve $y$ değişkenlerini karışık bir şekilde içerdiği için "kapalı türev" (implicit differentiation) yöntemini kullanacağız.

• Adım 1: Denklemin her iki tarafının $x$'e göre türevini alın.

  Verilen denklem: $x^3 + y^3 = 6xy$

  Denklemin sol tarafının türevi:

  • $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
  • $\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \frac{dy}{dx}$ (Zincir kuralını unutmayın, $y$'nin $x$'e göre türevi $\frac{dy}{dx}$'tir.)

  Denklemin sağ tarafının türevi (çarpım kuralını kullanın: $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$):

  • $\frac{d}{dx}(6xy) = 6 \left( \frac{d}{dx}(x) \cdot y + x \cdot \frac{d}{dx}(y) \right)$
  • $= 6 \left( 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} \right)$
  • $= 6y + 6x \frac{dy}{dx}$

  Şimdi tüm türevleri bir araya getirelim:

  $3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \frac{dy}{dx}$

• Adım 2: $\frac{dy}{dx}$ terimlerini bir tarafa toplayarak $\frac{dy}{dx}$'i yalnız bırakın.

  Tüm $\frac{dy}{dx}$ içeren terimleri denklemin bir tarafına, diğer terimleri ise karşı tarafa taşıyalım:

  $3y^2 \frac{dy}{dx} - 6x \frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$

  Şimdi $\frac{dy}{dx}$ ortak parantezine alalım:

  $\frac{dy}{dx} (3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2$

  Son olarak, $\frac{dy}{dx}$'i yalnız bırakmak için her iki tarafı $(3y^2 - 6x)$ ile bölelim:

  $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$

  Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz (pay ve paydayı 3 ile bölerek):

  $\frac{dy}{dx} = \frac{3(2y - x^2)}{3(y^2 - 2x)}$

  $\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$

• Adım 3: Bulduğunuz türev ifadesinde verilen $(3,3)$ noktasının koordinatlarını yerine koyun.

  Nokta $(x,y) = (3,3)$ olduğundan, $x=3$ ve $y=3$ değerlerini $\frac{dy}{dx}$ ifadesine yerleştirelim:

  $\frac{dy}{dx} \Big|_{(3,3)} = \frac{2(3) - (3)^2}{(3)^2 - 2(3)}$

  $\frac{dy}{dx} \Big|_{(3,3)} = \frac{6 - 9}{9 - 6}$

  $\frac{dy}{dx} \Big|_{(3,3)} = \frac{-3}{3}$

  $\frac{dy}{dx} \Big|_{(3,3)} = -1$

Böylece, eğrinin $(3,3)$ noktasındaki teğet doğrusunun eğimi $-1$ olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.