Fonksiyonlarda öteleme ve simetri Test 1

f(x) = x² - 4x + 3 fonksiyonunun y eksenine göre simetriği alınıyor. Oluşan yeni fonksiyonun kökler toplamı kaçtır?

A) -4
B) 4
C) -2
D) 2

• 1. Adım: Orijinal Fonksiyonu Belirleyelim

  Verilen fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 4x + 3$ şeklindedir.

• 2. Adım: Y Eksenine Göre Simetri Dönüşümünü Uygulayalım

  Bir fonksiyonun y eksenine göre simetriği alındığında, oluşan yeni fonksiyon $g(x)$ elde edilir. Bu dönüşümde, fonksiyonun $y$ değerleri işaret değiştirir. Yani, yeni fonksiyon $g(x)$ orijinal fonksiyon $f(x)$'in negatifine eşit olur: $g(x) = -f(x)$.

  Şimdi bu dönüşümü $f(x)$ fonksiyonuna uygulayalım:

  $g(x) = -(x^2 - 4x + 3)$

  Parantezi dağıttığımızda yeni fonksiyonu elde ederiz:

  $g(x) = -x^2 + 4x - 3$

• 3. Adım: Yeni Fonksiyonun Köklerini Bulalım

  Yeni fonksiyonumuz $g(x) = -x^2 + 4x - 3$. Bu fonksiyonun köklerini bulmak için $g(x) = 0$ denklemini çözmeliyiz:

  $-x^2 + 4x - 3 = 0$

  Denklemi daha kolay çözmek için her tarafı $-1$ ile çarpabiliriz. Bu işlem kökleri değiştirmez:

  $x^2 - 4x + 3 = 0$

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $3$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı $-1$ ve $-3$'tür:

  $(x - 1)(x - 3) = 0$

  Buradan kökler $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$ olarak bulunur.

• 4. Adım: Kökler Toplamını Hesaplayalım

  Yeni fonksiyonun kökleri $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$ olduğuna göre, kökler toplamı:

  $x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4$

  Alternatif olarak, bir $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindeki ikinci dereceden denklemin kökler toplamı formülü $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ile de bulunabilir.

  Yeni fonksiyonumuz $g(x) = -x^2 + 4x - 3$ idi. Bu denklemde $a = -1$, $b = 4$ ve $c = -3$ değerlerini yerine koyarsak:

  Kökler toplamı $= -\frac{4}{-1} = 4$

Her iki yöntemle de oluşan yeni fonksiyonun kökler toplamını $4$ olarak bulduk.

Cevap B seçeneğidir.